Функциональные уравнения
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все многочлены 
с вещественными коэффициентами такие, что
Подсказка 1
Одной из часто рассматриваемых характеристик многочлена является множество его корней. Какие корни имеет исходный многочлен, исходя из уравнения?
Подсказка 2
Думаю вы точно нашли корни 0, 4 и 6. Казалось бы, что на этом можно закончить и попробовать представить многочлен, как P(x)=x(x-4)(x-6)G(x). Но попробуйте из уже известных корней найти новые. Что у вас получается?
Подсказка 3
Верно, наверное, вы заметили, что x=8 тоже корень. Но тогда получается x=10 тоже и так далее. Это наталкивает на мысль, что корней бесконечное количество! Попробуйте доказать это по индукции. Сделайте из этого правильные выводы, и победа.
Покажем, что единственным решением является многочлен 
для этого достаточно доказать, что 
имеет бесконечное
количество корней. Индукцией по 
докажем, что каждый элемент бесконечной последовательности
для всех четных натуральных 
является корнем 
Действительно, при 
имеем
следовательно, база индукции верна. Теперь предположим, что 
является корнем 
Тогда в силу исходного уравнения,
имеем
где 
— значения соответственно многочленов 
и 
в точке 
Поскольку 
больше каждого из корней
многочлена 
верно, что 
следовательно, 
так же является корнем исходного многочлена, что доказывает
индукционный переход и завершает решение.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
