Функциональные уравнения
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все многочлены ![P (x)∈ ℝ[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/191036/index-f1dc18870fe15deec3bcb4d9d0232e92.svg)
степени 
имеющие 
действительных корней (не обязательно различных), такие,
что
Подсказка 1
Предположим, что исходный многочлен имеет некоторый корень r. Какие еще корни может иметь данный многочлен?
Подсказка 2
Несложно показать, что тогда r² и (r+1)² тоже являются корнями P(x). Как количество корней P(x) зависит от значения r?
Подсказка 3
Докажите, что если r отлично от 0 и 1, то количество корней многочлена бесконечно. Что это говорит о виде многочлена?
Подсказка 4
Он имеет вид ax^m(x-1)^n. Как числа m и n зависят друг от друга? Чему может быть равно a?
Подсказка 5
Несложно показать, что m=n и a=1. Наконец, докажите, что любой такой многочлен удовлетворяет уравнению.
Рассмотрим сначала случай, если 
В таком случае многочлен является константой и должен не иметь корней. Пусть 
и
подстановкой получаем, что подходит только 
Теперь будем рассматривать только натуральное 
Пусть 
— корень многочлена. Тогда
поэтому 
и 
тоже корни. Покажем, что число корней конечно тогда и только тогда, когда 
Если 
и 
то каждый элемент бесконечной последовательности
является решением, что невозможно. Аналогично, случай 
Наконец, пусть
для некоторого действительного 
и натуральных 
Корень 
имеет кратность 
в многочлене 
и кратность 
в
многочлене 
поэтому 
С одной стороны,
равен тождественному нулю, с другой, его старший коэффициент равен 
следовательно, 
Несложно проверить, что любой многочлен вида 
удовлетворяет уравнению.
где 
неотрицательное
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
