Функциональные уравнения
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— ненулевое целое число. Найдите все многочлены 
нечетной степени с вещественными коэффициентами такие,
что
Подсказка 1
Изначально нужно сузить диапазон поиска ответа. Как это можно сделать? Часто помогает посчитать какой-нибудь коэффициент при x^k. Зачем это нужно? Вы получите уравнение на n, что значительно поможет при решении. Какое k нужно выбрать?
Подсказка 2
Посчитайте коэффициент при x^(n+1). Поймите после этого, что n=1. Дальше осталось выполнить проверку линейный многочленов. Как это можно сделать?
Подсказка 3
Прямой проверкой убедитесь, что P(x)=tx подходит. А все остальные многочлены не подходят.
Пусть 
где 
Коэффициент при 
в многочлене в правой части равен
Отметим, что многочлены 
и 
имеют вид
следовательно, в правой части коэффициенты перед 
в первом и втором слагаемом равны соответственно
Складывая, имеем
Приравнивая коэффициенты в левой и правой части имеем соответственно
следовательно, 
или 
Таким образом, единственным возможным многочленом нечетной степени, удовлетворяющим исходному уравнению может быть лишь
многочлен первой степени. Прямой проверкой легко убедиться, что каждый многочлен вида 
является решением для некоторого
действительного 
Пусть теперь многочлен имеет вид 
тогда его можно представить в виде 
где 
является решением. Тогда из исходного уравнения следует, что и многочлен 
должен являться решением, что неправда,
поскольку
Следовательно, решениями являются лишь многочлены первой степенью, свободный коэффициент которых равен 
для любого вещественного числа 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
