Функциональные уравнения
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все многочлены 
с вещественными коэффициентами, для которых неравенство 
выполнено при
всех вещественных 
Подсказка 1
Для начала нужно понять ответ, поподставляйте разные многочлены, обратите внимание не только на степень, но и на старший коэффициент.
Подсказка 2
Ответ P(x)=kx+b, где |k|<1. Осталось понять, что все такие подходят, а остальные нет. Как это можно сделать?
Подсказка 3
Рассмотрите 2 случая. Когда многочлен степени не более чем первой и когда хотя бы квадратный. В первом случае получите оценку на старший коэффициент. Что делать во втором случае?
Подсказка 4
У вас есть неравенство. Если подставить туда многочлен. Оно всегда верное. Что это значит? Значит, после сокращения остался многочлен, который всегда положителен. Покажите, что это не так. Поймите, что остался многочлен степени (2n-2) и отрицательным коэффициентом.
Для начала решим задачу для многочленов не выше первой степени. Пусть 
Действительно, 
откуда
Т.е. исходное неравенство эквивалентно 
Пусть теперь 
пусть
где 
Тогда
Но тогда разность левой и правой частей — многочлен степени 
и старшим коэффициентом 
поэтому он не может
всегда быть больше нуля.
где 
— любое
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
