Функциональные уравнения

Если является постоянным многочленом, то есть для некоторого действительного следовательно, откуда

Сформулируем и докажем ряд лемм.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 1. Этот многочлен либо четный, либо нечетный.

Доказательство. Заметим, что

следовательно, для бесконечного количества значений верно уравнение или то есть тождественно равен одному из данных многочленов.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 2. Если многочлен нечетный, то он имеет бесконечно много корней.

Доказательство. Рассмотрим последовательность имеющую вид

Индукцией по покажем, что для всех натуральных верно В силу нечетности многочлена, имеем а значит, база индукции верна. Если является корнем исходного многочлена, то, в силу исходного уравнения, верно

по предположению индукции.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 3. Если многочлен четный, то существует такой многочлен что

Доказательство. Поскольку полином четный, он является суть суммой мономов четных степеней, следовательно, его можно записать как многочлен от Итак, если мы подставим вместо в мы получим многочлен от и, следовательно, от Пусть — данный многочлен, то есть Наконец, в силу исходного уравнения, имеем

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 4. Определенный выше также удовлетворяет условию

Доказательство. В силу леммы имеем кроме этого

Наконец, подставив вместо в последнее уравнение, получим утверждение леммы.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к решению исходной задачи. Предположим, что существует многочлен такой, что

Если данный многочлен имеет нечетную степень, то в силу леммы получим, что он тождественно равен откуда противоречие с предположением о том, что степень многочлена не меньше

Если же степень четна, то так же существует соответствующий ему многочлен который удовлетворяет исходному уравнению. Так, мы можем продолжать процесс до тех пор, пока на новом шаге не получим многочлен нечетной степени — процесс конечен, поскольку конечна степень вхождения в число Наконец, и нечетна, что невозможно.