17.15 Описанная окружность и вписанный четырехугольник

Четырёхугольник — вписанный по построению. Также в нём углы и опираются на диаметр описанной окружности, поэтому они равны

Тогда , поэтому треугольник подобен треугольнику по двум углам (угол — общий).

Площадь круга, вписанного в треугольник , в четыре раза меньше площади круга, вписанного в треугольник , поэтому радиус первого круга вдвое меньше радиуса второго. Тогда коэффициент подобия треугольников и равен . Значит,

Точка расположена вне данной окружности, поэтому то есть он острый. Тогда

Нам известно, что какой-то угол треугольника в два раза больше другого. Переберем все возможные случаи

• Угол при вершине треугольника не может быть вдвое меньше угла или , так как в противном случае один из углов или равен , что невозможно из-за того, что углы и — острые углы прямоугольных треугольников и соответственно.
• Если же угол вдвое больше угла , то угол равен , что невозможно (в этом случае прямая будет касаться данной окружности). Аналогично, угол не может быть вдвое меньше угла .
• Тогда осталось два варианта: либо угол вдвое больше угла , либо наоборот. В каждом из этих случаев один из углов равен , а второй .