а)

1. Пусть медианы $△ABC$ пересекаются в точке $F.$ По свойству данной точки $AF :F E = 2:1.$

2. Раз $AF :F E = 2:1$ и $AG :GE =1 :2,$ то $G$ — это середина отрезка $AF.$

3. По определению $DG$ — это средняя линия $△AF C,$ которая параллельна $F C.$

4. Проведём высоту $CL$ в $△ABC.$ $FC$ лежит на высоте треугольника $CL,$ следовательно, $FC ⊥ AB$ и $DG ⊥ AB.$

5. Продлим $DG$ до пересечения с $AB$ в точке $H.$

6. Поскольку $DH ∥CL$ и $D$ — середина боковой стороны $AC,$ то $DH$ — это средняя линия $△ACL$ и $AH = HT.$

7. В равностороннем треугольнике высоты и медианы совпадают, стало быть, $L$ — середина $AB,$ откуда $AH :HB = 1:3.$

8. Теперь нам осталось доказать, что $H$ — это и есть та самая точка пересечения окружности и отрезка $AB$ (не считая точки $B$ ).

9. $∘ ∠GHB + ∠GEB =180 ,$ откуда $HBEG$ — вписанный и $H$ — действительно точка пересечения окружности с отрезком $AB.$ Ч.Т.Д. б)

1. Провед̈eм перпендикуляры $IN$ и $EM$ на $AE$ и $BD$ соответственно.

2. Поскольку $△ABC$ равносторонний, то $AE$ и $BD$ ещё и биссектрисы. Таким образом, $∠FAB = ∠F BA = 602∘= 30∘.$

3. По сумме углов $△AF B :$

∠AF B =180∘− 30∘− 30∘ = 120∘.

4. Вписанный $∠EBI$ и центральный $∠EJI$ опираются на одну дугу, стало быть $∠EJI = 2⋅∠EBI = 60∘.$

5. Поскольку $∘ ∠LF K + ∠LJK = 180 ,$ то $LFKJ$ —- вписанный и $∘ ∠F LJ +∠F KJ = 180 .$

6. $∠NLI = ∠F LJ$ как вертикальные.

∠MKE = 180∘− ∠FKJ =∠F LJ,

то есть $∠NLI =∠MKE.$

7. $∠INL = ∠EMK = 90∘,$ поскольку $IN$ и $EM$ — перпендикуляры.

8. Из прошлых двух пунктов выводим подобие $△INL ∼ △EMK$ по двум углам. Раз так, то $IL:EK = IN :EM.$

9. $∠GEB = 90∘,$ следовательно, $GB$ — диаметр и $∠GIB = 90∘.$

10. $∠GIB = ∠ADB$ и $G$ — середина $AF,$ стало быть $GI$ — средняя линия $△ADF.$

11. Из прошлого пункта следует, что $△GIF ∼ △ADF$ с коэффициентом подобия $1 :2.$

12. $∠DAF = ∠EBF,$ $∠ADF = ∠BEF,$ $AD =EB.$ Эти три тезиса в сумме говорят о равенстве $△ADF = △BEF.$

13. Из прошлых двух пунктов следует, что $△GIF ∼ △BEF$ с тем же коэффициентом подобия $1:2.$

14. $IN$ и $EM$ — высоты данных треугольников, следовательно, их длины связаны тем же коэффициентом подобия $1 :2.$

15. Из пунктов 14) и 8) следует, что $IL:KE = 1:2.$

15 Описанная окружность и вписанный четырехугольник