17.15 Описанная окружность и вписанный четырехугольник

Пусть — центр окружности, описанной около треугольника , и — проекции точки на стороны и соответственно. По условию расстояния от центра окружности, описанной около треугольника , до сторон и равны и соответственно. Значит, и

Теперь докажем, что расстояние от точки пересечения высот треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны треугольника.

Рассмотрим треугольник Проведём через его вершины прямые, параллельные противоположным сторонам. Получим новый треугольник , который подобен с коэффициентом 2, так как стороны треугольника являются средними линиями треугольника . При этом высоты треугольника лежат на серединных перпендикулярах треугольника Отрезок в соответствует отрезку в . Поэтому .

Вернёмся к задаче. По доказанному . Аналогично .

Четырехугольник — вписанный, так как сумма противоположных углов . Тогда