18.27 Четность как частный случай симметрии

Преобразуем исходное уравнение:

Пусть Заметим, что и и являются четными функциями. Функция четна, так как это разность четных функций и Функция четна, так как это произведение четной функции и константы

Следовательно, если является корнем исходного уравнения, то тоже является его корнем. Значит, если при некотором значении параметра исходное уравнение имеет какой-то корень, отличный от то корней хотя бы 2.

В условии нас просят найти такие значения параметра при которых уравнение имеет ровно один корень. Следовательно, этот корень должен быть равен 0. Пусть тогда

Мы получили два значения параметра при которых возможно такое, что исходное уравнение имеет ровно один корень. При других значениях параметра не является корнем, значит, при таких значениях параметра количество корней уравнения четно, что противоречит условию. Осталось проверить действительно ли при и уравнение имеет ровно один корень. Пусть тогда

Заметим, что при любом а при любом Тогда равенство возможно только если обе части равны 1, то есть

Следовательно, при исходное уравнение действительно имеет ровно один корень.

Пусть тогда

Заметим, что на промежутке косинус убывает, при этом в точке его значение равно 0, значит, в точке значение косинуса больше 0.

Тогда рассмотрим функцию На промежутке она возрастает, причем в точке значение этой функции равно 0, а значит, значение в точке больше 0. Тогда мы можем схематично нарисовать графики левой и правой частей уравнения на промежутке

По картинке видно, что графики пересекаются на отрезке следовательно, при у исходного уравнения есть корень, отличный от 0. Значит, нам не подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение при