Преобразуем исходное уравнение:

2 2 2 2 cosx − x − a =a|x|− 3 ⇔ cosx − x − a +3 = a|x|

Пусть $2 2 f(x)= cosx− x − a + 3,$ $g(x) =a|x|.$ Заметим, что и $f(x),$ и $g(x)$ являются четными функциями. Функция $f(x)$ четна, так как это разность четных функций $y = cosx$ и $y = x2+ a2− 3.$ Функция $g(x)$ четна, так как это произведение четной функции $y =|x|$ и константы $a.$

Следовательно, если $x0$ является корнем исходного уравнения, то $− x0$ тоже является его корнем. Значит, если при некотором значении параметра $a$ исходное уравнение имеет какой-то корень, отличный от $x= 0,$ то корней хотя бы 2.

В условии нас просят найти такие значения параметра $a,$ при которых уравнение имеет ровно один корень. Следовательно, этот корень должен быть равен 0. Пусть $x= 0,$ тогда

cos(0)− 02− a2 = a⋅|0|− 3 ⇔ 1− a2 = −3 ⇔

⌊ 2 ⌈a= 2 ⇔ a = 4 ⇔ a= −2

Мы получили два значения параметра $a,$ при которых возможно такое, что исходное уравнение имеет ровно один корень. При других значениях параметра $x =0$ не является корнем, значит, при таких значениях параметра количество корней уравнения четно, что противоречит условию. Осталось проверить действительно ли при $a = 2$ и $a= −2$ уравнение имеет ровно один корень. Пусть $a= 2,$ тогда

cosx − x2− 22 +3 = 2|x| ⇔ cosx − x2 − 1 = 2|x| ⇔

⇔ cosx= |x|2+ 2|x|+ 1 ⇔ cosx= (|x|+ 1)2

Заметим, что $cosx ≤1$ при любом $x,$ а $2 (|x|+ 1) ≥ 1$ при любом $x.$ Тогда равенство возможно только если обе части равны 1, то есть

( 2 { cosx= 1 cosx= (|x|+ 1) ⇔ ( (|x|+ 1)2 =1 ⇔

({ ⇔ x= 2πn ⇔ x = 0 ( x= 0

Следовательно, при $a= 2$ исходное уравнение действительно имеет ровно один корень.

Пусть $a = −2,$ тогда

cosx− x2− (− 2)2 +3 = −2|x| ⇔ cosx− x2− 1= −2|x| ⇔

⇔ cosx= |x|2− 2|x|+ 1 ⇔ cosx= (|x|− 1)2

Заметим, что на промежутке $π [0;-2]$ косинус убывает, при этом в точке $π x = 2$ его значение равно 0, значит, в точке $x = 1$ значение косинуса больше 0.

Тогда рассмотрим функцию $y = (|x|− 1)2.$ На промежутке $[1; π2]$ она возрастает, причем в точке $x= 1$ значение этой функции равно 0, а значит, значение в точке $x = π 2$ больше 0. Тогда мы можем схематично нарисовать графики левой и правой частей уравнения на промежутке $π [0;2]:$

По картинке видно, что графики пересекаются на отрезке $[1; π], 2$ следовательно, при $a =− 2$ у исходного уравнения есть корень, отличный от 0. Значит, $a = −2$ нам не подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение при $a = 2.$

18.28 Четность как частный случай симметрии