18.27 Четность как частный случай симметрии

Уравнение равносильно

Сделаем замену . Так как замена линейная, то уравнение с заменой также должно иметь одно решение:

Функция является четной, определенной при всех , и уравнение имеет вид . Следовательно, если это уравнение имеет решение , то оно имеет также решение . Значит, количество решений уравнения будет четным, если среди решений нет , и нечетным, если среди решений уравнения есть . Так как нам требуется, чтобы уравнение имело единственное решение, что является нечетным количеством, то — решение уравнения.

1.

Найдем, при каких число является решением уравнения:

2.

Проверим, является ли единственным корнем уравнения при найденных или уравнение имеет другие корни. Для этого заметим, что если мы определим хотя бы один корень , то найденные значения параметра нам не подойдут; если же мы докажем, что других корней нет, то найденные нам подходят.

При уравнение имеет вид

Сделаем замену и рассмотрим функцию на промежутке . Тогда уравнение примет вид . Найдем ее производную . Найдем нули производной:

Так как , то , следовательно, . Следовательно, при производная принимает значения одного знака, значит, функция строго монотонна при . Тогда уравнение вида имеет не более одного решения. И это решение мы знаем — это . Следовательно, других решений нет.

Значит, нам подходит.

При уравнение имеет вид

Сделаем замену и рассмотрим функцию на промежутке . Тогда уравнение примет вид . Заметим, что при имеем , а при имеем . Следовательно, существует точка , в которой и эта точка отлична от . Таким образом, уравнение имеет как минимум еще один корень помимо .

Значит, нам не подходит.