Симметрия или цикличность в системе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Источники:
Подсказка 1!
1. давайте попробуем поиграться с оценками в этой задаче, так как уравнения как бы зациклены. давайте упорядочим числа, например х <= y <= z и попробуем тогда оценить корни x и z через соответсвующие переменные. то есть корень из х нам нужно оценить через х, используя уравнение из условия и наше упорядочивание. то есть два слагаемых из правой части оцениваем в соответсвии со знаками между x, y, z и получаем, что корень из х, например, больше х. тогда можно сделать вывод о том, какому промежутку х принадлежит - [0, 1] или [1, ∞].
Подсказка 2!
2. теперь попробуем это использовать - заметим, что z принадлежит [1, ∞], а х [0, 1]. тогда из первого уравнения (y+z)/2 это тоже число из [0, 1]. и аналогично рассмотрим третье уравнение, для него аналогично проводим оценку, но с числом из [1, ∞].
Подсказка 3!
3. осталось аккуратно вывести к тому, что и чисел должны быть определенные значения, чтобы все оценки сошлись!
Первое решение.
На ОДЗ все переменные неотрицательны. Если хотя бы одна равна нулю, то сумма остальных также нулевая и все переменные равны 
.
Учтём это и далее будем считать, что все переменные больше нуля.
Не умаляя общности (в силу симметрии), пусть 
, тогда посмотрим на первое уравнение
![√- y+z x+ x
x = -2--≥ -2--= x ⇐⇒ x∈ [0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/92959/index-47f551506102a6cf585de8dcf750be87.svg)
При этом для последнего уравнения
Итак, с одной стороны ![-
√x ∈[0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/92959/index-c3c0e068084380fe25f14414181f8c63.svg)
и ![y+z2-∈[0,1] ⇐⇒ y+ z ∈[0,2] =⇒ y ∈[0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/92959/index-7feab27d52c37f9b6442fbb8bb87fec2.svg)
(поскольку 
). С другой стороны, 
,
откуда 
(поскольку только в этом случае возможно равенство). Отсюда сразу же получаем
Второе решение.
ОДЗ: 
. Пусть, не умаляя общности, 
К неотрицательным числам мы имеем право применить неравенство о средних для двух чисел:
Перемножая неотрицательные части всех неравенств системы получаем следствие 
Отсюда
Докажем, что для нетривиального (
решения системы в этом неравенстве должно достигаться равенство.
Сложим три уравнения исходной системы:
Нам подходит случай 
эта тройка удовлетворяет исходной системе. Иначе из равенства выше делаем вывод, что все три
числа меньше единицы быть не могут, ведь тогда левая часть равенства очевидно окажется больше правой (для 
для
Рассмотрим тогда случай, когда ровно два числа меньше единицы: 
. Но тогда и третьей число оказывается меньше
единицы: 
Рассмотрим случай, когда ровно одно число меньше единицы: 
Но это противоречие 
Остаётся случай, когда 
Но тогда 
Но из (*) 
(это было следствие системы после применения неравенства
о средних). Остаётся только вариант, чтобы в неравенстве достигалось равенство, для (*) это, как известно, происходит при равенстве чисел.
Из системы получаем 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
