Тема Системы уравнений и неравенств

Симметрия или цикличность в системе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений и неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#92117

Найдите все тройки положительных чисел $x,y,z$ удовлетворяющие системе уравнений

{ (x2+ xy +y2)(y2+yz+ z2)(z2+ zx+ x2) =xyz (x4+ x2y2+ y4) (y4+ y2z2+ z4)(z4+ z2x2+x4)= x3y3z3

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнения в системе довольно схожие, правая часть второго делится на правую часть первого. А можно ли что-то такое отметить и для левых частей?

Подсказка 2

Попробуйте разделить второе уравнение на первое!

Подсказка 3

(x⁴ + x²y²+ y⁴) = (x² + xy + y²)(x²- xy + y²)

Подсказка 4

Теперь мы умеем представлять x²y²z² в виде произведения трёх скобок. Давайте подумаем, а на что похожи выражения в скобках? Как можно оценить каждую из них?

Подсказка 5

Вспомните, что a² + b² ≥ 2ab!

Показать ответ и решение

Поделим второе уравнение на первое (так как обе части первого уравнения положительны). Отношение первых скобок равно

x4+x2y2+ y4 (x4+ x2y2+y4)(x2− y2) x2-+xy+-y2-= (x2-+xy+-y2)(x−-y)(x+-y) =

6 6 = ---x-−-y----= x2− xy+y2 (x +y)(x3− y3)

Аналогичное равенство имеет место для второй и третьей скобок, тогда после деления получим:

( 2 2) (2 2) ( 2 2) 2 22 x − xy +y ⋅ y − yz+ z ⋅ z − zx +x = x yz

С учетом того, что $a2+ b2 ≥2ab, ∀a,b ∈ℝ$ и того, что все числа положительные (тогда мы можем перемножать неравенства), получим:

2 22 ( 2 2) ( 2 2) (2 2) x y z = x − xy+ y ⋅ y − yz+ z ⋅z − zx+ x ≥

≥ xy⋅yz⋅zx= x2y2z2

А значит, наше равенство выполняется только в случае $a2 +b2 = 2ab,$ то есть в случае равенства всех переменных. Тогда подставляя $y =x,z = x$ в первое уравнение, получим

( ) 3x23 = x3

1 x3 = 27-

x = 1= y = z 3

Ответ:

$(1,1,1) 3 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92167

Решить систему

{ x3+ y3 = 19 (xy+8)(x+y)= 2

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В системах уравнений, содержащих симметрические функции, часто удобнее решать относительно переменных $u= x+ y$ и $v = xy$ .

Выразим $3 3 x +y$ через $u и v$ :

3 3 2 2 2 2 x +y =(x+ y)(x − xy+y )= (x +y)((x+ y) − 3xy)= u(u − 3v)

Тогда изначальная система в $u и v$ будет выглядеть:

({ 2 u(u − 3v)=19 ( (v+ 8)u = 2

( { u(u2− 3v)=19 ( uv = 2− 8u

Подставим второе уравнение в первое:

u3− 3⋅(2− 8u)=19

u3+ 24u − 25= 0

(u − 1)(u2+ u+ 25)=0

Единственный корень $u =1$ . Тогда $v =− 6$ .

Остаётся решить систему $({ 1− x= y ( −6= xy$

Подставляя первое уравнение во второе, получаем $y2− y − 6 =0$ , откуда выходит два решения:

( ( { y = 3 { y = −2 ( x= −2 и( x= 3

Ответ:

$(−2,3),(3,−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68022

Найти все решения системы уравнений в действительных числах:

(| x5 =y3+ 2z |||{ | y5 =z3+ 2x |||( z5 =x3+ 2y

Источники: Всесиб-2023, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на нашу систему, что можно сказать о ней? Верно, уравнения в ней циклические! Поэтому можно упорядочить наши переменные, не умаляя общности: x ≥ y ≥ z.

Подсказка 2

Вычтем из первого уравнения третье: x⁵-z⁵ = y³+2z-x³-2y. Заметим, что левая часть уравнения всегда неотрицательна, а правая не больше нуля! Какой вывод можно сделать из этого?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если тройка $(x,y,z)$ является решением, то решениями являются $(y,z,x),(z,x,y)$ . В силу этой цикличности системы мы можем не умаляя общности считать $x$ наибольшим.

Вычтем из первого уравнения второе и третье:

5 5 3 3 x − z = (y − x )+ 2(z− y)

5 5 3 3 x − y = (y − z )+ 2(z− x)

Если $z ≤ y,$ то $0≤x5 − z5 = (y3 − x3)+ 2(z− y)≤0+ 2⋅0= 0,$ поэтому должно достигаться равенство $0= x− z = y− x = z− y =0.$

Если $y ≤ z,$ то $0≤x5 − y5 = (y3 − z3)+2(z− x)≤0+ 2⋅0= 0,$ поэтому должно достигаться равенство $0= x− y = y− z =z − x =0.$

Таким образом, система может иметь решение только при $x= y = z.$ При подстановке в любое из уравнений системы получаем

5 3 x − x − 2x= 0

x =0 или x2 = 2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что в любой тройке, являющейся решением, все переменные одного знака: они либо все неотрицательны, либо все неположительны. Это следует из того, что нечётная степень числа имеет тот же знак, что и само число. Действительно, среди переменных две имеют одинаковый знак, тогда правая часть уравнения, содержащего эти переменные, имеет тот же знак, значит и левая часть, а с ней и третья переменная имеют тот же знак. Кроме того, если одна из переменных равна $0,$ то левая часть соответствующего уравнения равна $0,$ значит сумма двух чисел одного знака в правой части тоже равна $0,$ поэтому каждое из этих чисел равно $0.$

Внесём эту тройку в ответ. Тогда дальше можно считать, что все переменные не равны $0.$ При умножении решения системы на $− 1$ снова получаем решение, следовательно, дальше можно считать, что $x,y,z >0,$ а потом внести в ответ тройку с противоположными знаками.

Сложим все три уравнения и перенесем правую часть в левую:

(x5− x3− 2x)+ (y5− y3− 2y)+ (z5 − z3− 2z)= 0.

Теперь рассмотрим функцию $5 3 4 2 2 2 f(x) =x − x − 2x =x(x − x − 2)= x(x +1)(x − 2).$ Нетрудно понять, что при $√ - 0 <x < 2$ значении функции отрицательно, а при $√ - x > 2$ положительно, а также при $√- x∈{0; 2}$ оно равно $0.$ Отсюда следует, что все переменные не могут быть одновременно больше или одновременно меньше $√ - 2.$ Так как иначе $f(x)+f(y)+f(z)⁄=0,$ ведь в левой части стоит сумма трёх чисел одного знака, поэтому они все должны равняться $0,$ откуда следует, что при этом $√ - x =y =z = 2.$

Итак, остались два случая, $√ - x > 2≥ y,z$ и $√- x,y ≥ 2> z.$

Если $√- x> 2≥ y,z,$ тогда $x5− y3− 2z ≥ x5− x3− 2x >0$ — это не решение.

Если $√ - x,y ≥ 2> z,z5− x3− 2y <z5− z3− 2z < 0$ — это тоже не решение.

Таким образом доказано, что других решений, кроме уже найденных, нет.

Ответ:

$(−√2,−√2,−√2-),(0,0,0),(√2,√2,√2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31699

Решите систему уравнений:

{ x2y+ xy2 =2 − 2x− 2y; x+ y+ 5= −xy.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметрическая система! И правда: при замене x на y, а y на x, система принимает то же значение. Хм, а какие замены мы можем сделать в симметрической системе? Замены тоже не должны менять свое значение при смене х на у, а у на х.

Подсказка 2

Удачной заменой для симметрических систем будет: а = х+у, b = xy

Подсказка 3

Для решения получившихся уравнений было бы удобно использовать обратнуюю теорему Виета - то есть было бы здорово, если бы мы знали, чему равна сумма чисел и их произведение. Но в уравнении на произведение у нас: ab = 2 - 2a. Значит давайте сделаем еще одну замену! Например, заменим b на c-2, чтобы убить слагаемое 2а.

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В симметрической системе можно сделать замену $x+ y = a$ , $xy = c$ .

Получим систему: $ac =2− 2a$ и $a+ 5= −c$ .

Переобозначим $c =b− 2$ . Тогда получаем $ab= 2$ и $a+ b= −3$ . Если решения системы есть, то $a$ и $b$ корни уравнения $2 x + 3x+ 2= (x +1)(x+ 2)= 0$ .

$a =− 1= x+y$ и $b=xy +2= −2$ . Тогда $xy =− 4$ , значит, $x$ и $y$ корни уравнения $2 t+ t− 4= 0$ , так что они равны $−1±√17- --2---$ .
$a =− 2= x+y$ и $b =xy+ 2= −1$ . Тогда $xy = −3$ , значит, $x$ и $y$ корни уравнения $t2+ 2t− 3= (t+ 3)(t− 1)=0$ , так что они равны $1$ и $− 3$ .

Ответ:

$(1;− 3),(− 3;1),(−1−√17,−1+√17),(−1+√17,−1−√17) 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31700

Решите систему:

{ x3+ y3 = 7; x2y+ xy2 =− 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подозрительное совпадение - левые части обоих уравнений очень похожи на слагаемые из формулы куба суммы! Только некоторым из них не хватает нужных коэффициентов. Давайте попробуем понять, чему равно (x+y)³

Подсказка 2

Для этого нужно к верхнему уравнению прибавить три нижних, действительно, мы получим, чему равна сумма х и у. Нам не помешало бы еще знать произведение, но зная сумму мы можем его найти, пользуясь нижним уравнением!

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В симметрической системе можно сделать замену $x+ y = a$ , $xy = b$ .

Тогда система из условия

{ 2 2 (x +y)(x − xy+ y)= 7; xy(x+ y)= −2.

преобразуется в

{ a(a2− 3b)= 7; ab=− 2.

Прибавив к первому уравнению три вторых уравнения получаем

a3− 3ab+ 3ab= 7+ 3⋅(−2)=1

x+ y = 1

С учётом второго уравнения системы (для равносильности) имеем, что $xy = −2$ , значит, по обратной теореме Виета $x$ и $y$ это корни уравнения $t2− t− 2 =(t− 2)(t+1)$ .

Ответ:

$(−1;2),(2;−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#36906

Решите систему уравнений

{ 1 + 1 = 5; x1 y-1 x2 + y2 = 13.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть сумма двух чисел, она равна 5. Есть и сумма квадратов этих двух чисел, она равна 13. Как из суммы каким-нибудь способом получить сумму квадратов? Нужно применить какую-то формулу, чтобы в ней фигурировали квадраты...

Подсказка 2

Ну конечно, если сумму возвести в квадрат, то как раз появится сумма квадратов! А также появится удвоенное произведение двух чисел. Теперь мы имеем систему, равносильную изначальной, где нам известна и сумма двух чисел, и их же произведение. Похоже на теорему Виета. Быть может, у нас получится подобрать здесь корни?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Перепишем второе уравнение

( 1 1)2 2 2 1 x + y − xy =13 ⇐⇒ 25− xy = 13 ⇐⇒ xy = 6

Теперь применим это в первом

1+ 1 = x+y-= 5 =⇒ x +y = 5 x y xy 6

Отсюда легко видеть, что $x$ и $y$ — корни $t2− 5t+ 1 = 0 6 6$ , то есть подойдут только пары $(1,1) 2 3$ и $(1,1) 32$ . Все переходы были равносильны для положительных $x,y$ , потому решения можно не проверять.

Второе решение.

ОДЗ:

x ⁄=0,y ⁄= 0

Система равносильна:

( { x+y= 5; ( xxy2+y2-=13. x2y2

С учётом замены $u= x+ y,v =xy$ на ОДЗ система равносильна:

{ u =5v; u2− 2v = 13v2.

{ u= 5v; 25v2− 2v = 13v2.

{ 1 v = 65 = xy; u= 6 = x+ y.

По обратной теореме Виета если решения системы существуют, то они удовлетворяют уравнению $t2− 5t+ 1 =0 6 6$ , то есть в качестве $(x;y)$ подойдут только пары $(1;1) 2 3$ и $(1;1) 3 2$ . Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$(1;1),(1;1) 2 3 3 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#36913

Решите систему уравнений:

{ x3− y3 =65; x2y − xy2 = −20.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно разложить на множители оба уравнения и сделать замену a = x-y, b = xy.

Подсказка 2

Отлично, мы нашли, чему равны а и b, то есть х-у и ху. Теперь остается выразить х через у, найти у, а затем найти и х.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Система эквивалентна:

{ (x− y)(x2+ xy+ y2)= 65 xy(x− y)=− 20

C учётом замены $a= x− y,b =xy$ получаем:

{ a(a2+ 3b)=65 { a3 =125 ab= −20 ⇐ ⇒ ab =−20

Откуда $x− y =5,xy = −4$ . То есть $x+ 4x =5 ⇐ ⇒ x2− 5x+ 4= 0 ⇐⇒ x= 1 или x =4$ . Соответственно находим $y = − 4x$ и получаем ответ.

Второе решение.

Система эквивалентна:

{ (x− y)(x2+ xy+ y2)= 65 xy(x− y)=− 20

Так как при $x − y = 0$ система не имеет решений и при $x =0$ система не имеет решений, то поделим первое уравнение на второе и получим:

x y 13 y + 1+ x =− 4 .

При замене $x t= y$ получаем уравнение $2 13 ±1 t +t+ 1+ 4 t= 0 ⇐⇒ t= −4 ,$ то есть либо $x = −4y$ , либо $xy =− 4$ .

Подставим во второе уравнение системы: либо $− 4y2(− 5y)= −20 ⇐⇒ y = −1$ (в этом случае $x =4$ ), либо $− 4(− 4y − y)= −20 ⇐⇒ y = −4$ (в этом cлучае $x= 1$ ).

Ответ:

$(1;− 4),(4;−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40725

Решите систему уравнений

( 1 1 1 13 |||{ x + y + z = 3 | x+ y+ z = 13 ||( xyz = 1 3

Показать ответ и решение

Из первого уравнения с учётом третьего получаем $xy+ yz+ xz = 13 3$ . Итак, нам известны сумма, произведение и попарное произведение чисел $x,y,z$ . По обратной теореме Виета если решение системы существует, то каждое из этих чисел $x$ , $y$ и $z$ является корнем уравнения $3 13 2 13 x − 3 x + 3 x− 1 =0.$

Левую часть уравнения легко разложить на множители:

13 13 13 9 1 ( 1) x3− 1− (3 x2−-3 x)= (x − 1)(x2+ x+ 1− 3-x)=(x− 1)(x2− 3x− 3(x− 3))= (x− 1) x −3 (x− 3)

Так что решением является тройка $(1;3;13)$ и её перестановки.

Ответ:

$(1;3;1) 3$ , $(3;1;1) 3$ , $(1;1;3) 3$ , $(3;1;1) 3$ , $(1;1;3) 3$ , $(1;3;1) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42935

Решите систему уравнений

{ x2y +x +xy2+ y+ 5=0 x +y+ xy+ 5= 0

Показать ответ и решение

Сделаем двойную замену $a= x+ y,b= xy$ , имеем

{ ab+a +5= 0 a+ b+5 =0 =⇒ ab− b =0 ⇐⇒ b= 0 или a= 1

В первом случае имеем $a= −5$ , а во втором $b= −6$ , осталось вернуться к первоначальным переменным, имеем в первом случае

{ b= 0 { x= 0 { x= −5 a =−5 ⇐⇒ y = −5 или y = 0

Во втором аналогично

{ { { b= −6 x= 3 x= −2 a =1 ⇐ ⇒ y = −2 или y = 3

Ответ:

$(−5;0),(0;−5),(−2;3),(3;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#71445

Найти все решения в действительных числах системы уравнений

(| x(1 +yz)= 9 { y(1 +xz)= 12 |( z(1+ xy)= 10

Источники: Всесиб-2022, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнениях степени небольшие, поэтому не составит труда немного поработать ручками и с помощью простых преобразований прийти к чему-то более красивому. Быть может, стоит попробовать выразить все переменные через одну из них?

Подсказка 2

Вычтем первое уравнение из двух других, теперь мы знаем, как выразить все переменные через одну! Теперь можно подставить их в любое уравнение и что-то понять.

Подсказка 3

Получится кубическое уравнение, у которого можно угадать корень. Остается лишь найти остальные или доказать, что их нет!

Показать ответ и решение

Вычтем первое уравнение из второго и третьего, получим:

{ y− x = 3 z− x = 1

Подставим выражения $y = x+ 3,z = x+1$ в первое уравнение, получим

x(x+ 3)(x+ 1)+ x= 9

x3+4x2+ 4x− 9=0

Одним из его корней является $x= 1,$ поэтому

x3+4x2+ 4x− 9 =(x− 1)(x2+ 5x+ 9)

Дискриминант второй скобки отрицателен, поэтому единственным действительным корнем кубического уравнения и решением исходной системы является $x= 1.$ Тогда $y = x+ 3= 4,z =x +1= 2.$

Ответ:

$(1,4,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#74952

Решите систему уравнений

(| √yz ||||| x = y+-z ||{ √xz || y = x+-z ||||| √yx |( z = y+-x

Источники: САММАТ-2022, 11.8 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Система циклическая, поэтому попробуем найти какие-то «парные» решения и поставим какие-нибудь ограничения на переменные. Что нам напоминает правая часть каждого из уравнений?

Подсказка 2

Заметим, что сменив знак у каждой из переменных, тройка остается решением. Значит, мы можем считать, что все переменные положительны. А правая часть каждого из уравнений напоминаем нам неравенство о средних! Тогда попробуем лучше оценить каждую из переменных)

Подсказка 3

Заметим, что каждая из переменных не больше 1/2(почему?). Теперь хочется как-то связать равнения системы…а что если выполнить преобразования, после которых мы сможем что-то сократить? Обратим внимание на наличие корня в числителях! Остается дело за малым)

Показать ответ и решение

Отметим, что числа $x,y,z$ одного знака, при этом если тройка $(x;y;z)$ — решение системы, то $(−x;− y;−z)$ также решение.

Пусть числа $x,y,z$ положительны. Из неравенства о средних

√ -- a+ b≥2 ab

следует, что

√ab- 1 a+ b ≤ 2

Следовательно, каждое из чисел числа $x,y,z$ не больше $1 2.$

Перемножив все уравнения системы, получим

(x+ y)(y+ z)(z+ x)= 1

Но сумма любых двух из чисел $x,y,z$ не превосходит 1. Следовательно,

x +y = y+ z = z+ x= 1

Значит $x =y =z = 1. 2$ Так как $(−x;−y;−z)$ также будет решением, то $x =$ $y =z =− 1. 2$

Ответ:

$(1;1;1), (− 1;− 1;− 1) 2 2 2 2 2 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90554

Решите систему уравнений:

{ (x2+ y2)(x+ y)= 15xy (x4+ y4)(x2+ y2)= 85x2y2

Показать ответ и решение

Сразу обратим внимание на симметрию. Если $x= 0$ , то из второго уравнения и $y = 0$ – единственное подходящее решение (в обратную сторону аналогично), далее предполагаем, что обе переменные не равны нулю. Возведя первое уравнение в квадрат, из него и второго получим:

(x2+y2)2(x+ y)2 (x4+ y4)(x2+ y2) ------45------= ------17-------

Далее приводя к общему знаменателю и учитывая $y ⁄= 0$ , положим $t= xy ⁄=0(x⁄= 0)$ и получим:

28x4− 34x3y − 34x2y2 − 34xy3+28y4 = 0=⇒ 28t4− 34t3− 34t2− 24+ 28 =0

Теперь воспользуемся тем, что $t⁄= 0$ , откуда имеем:

( 1) ( 1) 1 1 28 t2 +t2 − 34 t+ t − 34= 0, продолжим z = t+ t,t2+ t2 = z2− 2

Получаем квадратное уравнение относительно $z$ : $14z2− 17z − 45= 0$ , откуда получаем $z = 52, − 97$ . Далее $| | |t+ 1t|≥ 2$ , тогда во втором случае решений нет, в первом получим $t2− 52t+ 1= 0$ , откуда $xy = t= 12, 2=⇒ x= 2y, 12y$ .

В силу той же симметрии достаточно подставить $x= 2y$ , причём в оба уравнения, поскольку преобразования не были равносильными, имеем:

{ 5y2⋅3y = 30y2 17y4⋅5y2 =340y4 =⇒ y = 2, x= 4

При обратной подстановке получим, пару $(2,4)$ , вспоминаем про изначально исключённые $(0,0)$ , откуда и имеем ответ.

Ответ:

$(4,2), (2,4), (0,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#91965

Имеет ли решение в положительных числах система уравнений

(| x2+ xy+ y2 = 4; { y2+ yz+ z2 =9; |( 2 2 z + zx+ x =36?

Показать ответ и решение

Пусть есть. Тогда возьмем точку, выпустим 3 луча, между которыми углы $120∘$ и отметим на эти лучах отрезки длины $x =a$ , $y =b$ и $z =c:$

$PIC$

Тогда

( |{ x2+ xy+ y2 = 4= AB; | y2+ yz+ z2 =9 =BC; ( z2+ zx+ x2 = 36 =AC

Но для треугольника $ABC$ не выполняется неравенство треугольника. Противоречие.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#30989

Найдите все действительные числа $a,$ для которых существуют три различных действительных числа $x,y,z,$ таких что

1 1 1 a= x+ y = y+ z =z+ x

Источники: Всесиб-2021, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тройное равенство вида a = f = g = h это на самом деле система a = f, f = g, g = h

Подсказка 2

У нас слишком много переменных. Давайте х, z выразим через a и y. Используем, что x = a - 1/y и z = a - 1/x.

Подсказка 3

А после этого вспоминаем, что a = y + 1/z. Подставляем сюда наше выражение на z - мы получили соотношение на a и y только. Попробуйте для удобства разложить его на множители.

Подсказка 4

Один из случаев невозможен в силу различности x,y,z. В другом случае должно получиться а=±1. Теперь осталось проверить различность решений при этих параметрах. Используйте выражения из предыдущих наработок (просто подставьте туда а=1, а=-1), и всё получится!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из условия $1 1 x + y = y+ z$ получаем

y− z x − y =-zy--

Аналогично (в силу цикличности равенств) $y− z = z−zxx ,z− x= x−xyy .$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(x− y)(y− z)(z− x)= (x−-y)(y−-z)(2z−-x) (xyz)

С учётом того, что числа различные, получаем после сокращения на $(x− y)(y− z)(z− x)⁄= 0:$

(xyz)2 = 1 ⇐ ⇒ xyz = ±1

Из условия $a =x + 1y = y+ 1z$ получаем

a⋅a= (x + 1)⋅(y+ 1)= 1+ xy+ x+ 1-= 1+ x(y + 1+ -1-) y z z yz z xyz

a2− 1= x(a ±1)

Аналогично (в силу цикличности равенств) $a2 − 1= y(a±1),a2 − 1 =z(a± 1).$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(a2− 1)3 =±1 ⋅(a± 1)3

Этому равенству не могут удовлетворять значения $a,$ отличные от $± 1,$ поэтому других решений у задачи быть не может. Осталось проверить, подходят ли $a= 1,a= −1.$

При $a= 1$ существует удовлетворяющая условиям задачи тройка $1 (2,2,−1),$ а при $a =− 1$ можно взять $1 (−2,−2,1).$ Поэтому оба найденных значения параметра идут в ответ.

Второе решение.

Сначала постараемся избавиться от трёх неизвестных в одном выражении:

2 a =x + 1=⇒ x= a− 1 = ay− 1, z = a− 1= a−-y--= a-y−-y− a y y y x ay− 1 ay− 1

Наконец:

a= y+ 1= y+ --ay− 1--⇐⇒ a3y− ay− a2 =a2y2− y2 − ay+ ay− 1 z a2y− y − a

Получаем:

(a2− 1)(y2− ay+ 1)= 0

Тогда либо $a2 =1,$ либо $a= y+ 1y.$ Последнее невозможно, ведь по условию $a= x+ 1y$ и получаем $x= y$ — противоречие с условием.

Осталось проверить $a= ±1.$

Зафиксируем $y,$ тогда из ранее полученного

x = ay− 1 y

z = a2y−-y−-a=-−-a- ay− 1 ay− 1

1 1 a =y +z = y− y + a

Все три условия выполнены и можно предъявить конкретную тройку $(x,y,z),$ но нами получен общий вид $ay− 1 −a (-y-,y,ay−1)$ в зависимости от $y$ при учёте $a =±1.$

Осталось проверить, что в тройке нет совпадающих чисел различность.

Допустим, что $x= y.$ Тогда

x = ax− 1 x

x2− ax +1 =0

D =a2− 4= −3 <0

То есть такого быть не может. Остальные два равенства $y =z$ и $x =z$ проверяются (что они невозможны) аналогично.

Ответ:

{ $− 1$ ; $1$ }

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#83210

Числа $a,b$ и $c$ (не обязательно целые) удовлетворяют условиям

( a2+ b= c2 |{ 2 2 |( b2+ c=a2 c + a= b

Чему может быть равно произведение $abc$ ?

Источники: КМО - 2021, первая задача первого дня для 8-9 классов, автор Белов Д.А. (cmo.adygmath.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Сложим все данные условия и приведем подобные слагаемые. Получим $a+ b+ c=0$ . Подставим $c= −a− b$ в первое условие:

2 2 2 a +b= a + b +2ab; b(b+ 2a− 1)= 0.

Из последнего равенства следует, что либо $b= 0$ и тогда произведение $abc= 0$ , либо $b+2a− 1= 0$ , и тогда $b= −2a+ 1$ . В первом случае ответ получен, во втором случае подставим $b= −2a+ 1$ и $c =− a− b =a− 1$ в третьей условие:

2 2 4a − 4a+1 +a− 1= a 3a2 − 3a= 0 3a(a− 1)= 0.

Итак, либо $a =0$ , и искомое произведение равно 0 , либо $a= 1$ , и тогда $c =a − 1= 0$ , и $abc$ также равно 0.

Второе решение.

Докажем, что среди чисел $a,b$ и $c$ есть хотя бы один 0. Предположим, что среди чисел $a,b$ и $c$ есть два равных или противоположных, для определенности пусть это $a$ и $b$ . Тогда $a2 = b2$ , и из второго уравнения $c= 0$ . Аналогично рассматриваем случаи $b= ±c,c= ±a$ .

Теперь пусть среди чисел $ab$ и $c$ нет равных и противоположных. Складывая первые два уравнения, имеем $a2+ b+b2+ c= c2+a2$ , откуда $b2− c2+ b+c =0$ , $(b− c)(b +c)+b +c= 0,(b− c+1)(b+ c)=0$ , а поскольку $b⁄= −c$ , имеем $b− c+ 1= 0$ . Аналогично (складывая второе уравнение с третьим, а также третье с первым) имеем $c− a +1 =0,a− b+1 =0$ . Но сложив все три полученных равенства, получим $0 =3$ , т. е. рассматриваемый случае не возможен.

Замечание.

Как мы видим из решений, необязательно все три числа равны 0. Например, подходит тройка $a= 1,b= −1,c= 0$ .

Ответ: только нулю

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#77814

Найти все решения системы уравнений в действительных числах:

(| xy+ z+ t=1 |||{ yz+ t+x =3 | |||( zt+ x+ y = −1 tx+ y+z =1

Показать ответ и решение

(|xy+ z+t =1 (1) |||{yz+ t+x =3 (2) | |||(zt+x +y =−1 (3) tx+y +z =1 (4)

Сделаем следующие действия: $(1)− (2), (2)− (3), (3)− (4), (4)− (1).$ Разложим каждую разность на множители и получим:

(||(x− z)(y− 1)= −2 (5) ||{(y− t)(z− 1)= 4 (6) ||(z− x)(t− 1) =−2 (7) ||((y− t)(x− 1) =0 (8)

Из $(6)$ получаем $y− t⁄= 0,$ поэтому из $(8)$ имеем $x= 1.$ Из $(5)$ и $(7)$ получаем $x− z ⁄=0 и y− 1= −2 =1− t,$ откуда $y =2− t.$ Подставим найденные выражения в $(1)$ и $(2)$ и получим $z = −1,t= 2,$ откуда $y = 0.$ Таким образом, получаем единственное решение системы: $(1,0,−1,2).$

Ответ:

$(1,0,−1,2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91381

Решить в действительных числах систему уравнений:

{ x2+ xy+y2 = 4, 4 22 4 x + xy + y = 8.

Показать ответ и решение

Рассмотрим случаи.

1) $x= y$ , тогда $2 4 3x = 4, 3x = 8$ , откуда $2 x = 2$ , что явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.

2) $x= −y$ , тогда $2 4 x =4, 3x = 8$ , откуда $2 2 x = 3$ что тоже явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.

3) $x⁄= ±y$ . Домножим первое уравнение на $x − y$ . получим $3 3 x − y =4(x− y)$ . Домножим второе уравнение на $2 2 x − y$ , получим

( ) x6− y6 =8 x2− y2

Поделим второе уравнение на первое, получим

3 3 x +y = 2(x+y),

откуда

2 2 x − xy+ y =2.

С учётом первого уравнения, $xy = 1,x2y2 = 3.$ Заменяя $y = 1 x$ , получаем биквадратное уравнение $x4− 3x2 +1= 0$ , откуда $∘3±√5- ∘ 3∓√5- x =± 2 ,y = ± 2$ – всего 4 решения.

Ответ:

$(∘-3+√5,∘ 3−√5) 2 2$ , $( −∘-3+√5,−∘ 3−√5) 2 2$ , $(∘ 3−-√5,∘ 3+√5) 2 2$ , $(−∘ 3−√5,− ∘-3+√5) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#49484

Решите систему уравнений

(| √x = y+z; { √y = z+2x-; |( √- x+2y- z = 2 .

Источники: Высшая проба - 2023, 8.3 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1. давайте попробуем поиграться с оценками в этой задаче, так как уравнения как бы зациклены. давайте упорядочим числа, например х <= y <= z и попробуем тогда оценить корни x и z через соответсвующие переменные. то есть корень из х нам нужно оценить через х, используя уравнение из условия и наше упорядочивание. то есть два слагаемых из правой части оцениваем в соответсвии со знаками между x, y, z и получаем, что корень из х, например, больше х. тогда можно сделать вывод о том, какому промежутку х принадлежит - [0, 1] или [1, ∞].

Подсказка 2!

2. теперь попробуем это использовать - заметим, что z принадлежит [1, ∞], а х [0, 1]. тогда из первого уравнения (y+z)/2 это тоже число из [0, 1]. и аналогично рассмотрим третье уравнение, для него аналогично проводим оценку, но с числом из [1, ∞].

Подсказка 3!

3. осталось аккуратно вывести к тому, что и чисел должны быть определенные значения, чтобы все оценки сошлись!

Показать ответ и решение

Первое решение.

На ОДЗ все переменные неотрицательны. Если хотя бы одна равна нулю, то сумма остальных также нулевая и все переменные равны $0$ . Учтём это и далее будем считать, что все переменные больше нуля.

Не умаляя общности (в силу симметрии), пусть $x≤ y ≤ z$ , тогда посмотрим на первое уравнение

√- y+z x+ x x = -2--≥ -2--= x ⇐⇒ x∈ [0,1]

При этом для последнего уравнения

√ - z = x+2-y≤ z+2-z= z ⇐⇒ z ≥ 1

Итак, с одной стороны $- √x ∈[0,1]$ и $y+z2-∈[0,1] ⇐⇒ y+ z ∈[0,2] =⇒ y ∈[0,1]$ (поскольку $z ≥ 1$ ). С другой стороны, $- √z ≥ 1$ , откуда $x+2y≥ 1 =⇒ x= y = 1$ (поскольку только в этом случае возможно равенство). Отсюда сразу же получаем $z =1.$

Второе решение.

ОДЗ: $x≥ 0,y ≥0,z ≥ 0$ . Пусть, не умаляя общности, $x ≤y ≤z.$

К неотрицательным числам мы имеем право применить неравенство о средних для двух чисел:

(|{ √x= y+2z≥ √yz; √y = z+2x≥ √zx; |( √z = x+2y≥ √xy.

Перемножая неотрицательные части всех неравенств системы получаем следствие $√xyz ≥ xyz.$ Отсюда

xyz ≤ 1 (*)

Докажем, что для нетривиального ( $0,0,0)$ решения системы в этом неравенстве должно достигаться равенство.

Сложим три уравнения исходной системы:

√x+ √y +√z-= x+y +z

Нам подходит случай $x =y =z =0,$ эта тройка удовлетворяет исходной системе. Иначе из равенства выше делаем вывод, что все три числа меньше единицы быть не могут, ведь тогда левая часть равенства очевидно окажется больше правой (для $t= 0 √t =t,$ для $0 <t< 1 √t->t).$

Рассмотрим тогда случай, когда ровно два числа меньше единицы: $x ≤y <1 ≤z$ . Но тогда и третьей число оказывается меньше единицы: $√z = x+y< 1+1 =⇒ z < 1. 2 2$

Рассмотрим случай, когда ровно одно число меньше единицы: $x< 1≤ y ≤ z.$ Но это противоречие $1> √x= y+z≥ 1+1= 1. 2 2$

Остаётся случай, когда $1 ≤x ≤y ≤z.$ Но тогда $1 ≤xyz.$ Но из (*) $xyz ≤ 1$ (это было следствие системы после применения неравенства о средних). Остаётся только вариант, чтобы в неравенстве достигалось равенство, для (*) это, как известно, происходит при равенстве чисел. Из системы получаем $x= y = z = 1.$

Ответ:

$(0;0;0),(1;1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#36910

Решите систему уравнений:

{ x2− xy+ y2 =19; x4+ x2y2 +y4 = 931.

Источники: ОММО-2016, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вы тоже это заметили? Сначала написали x²+y², а потом стало x⁴+y⁴, сначала было ху, стало (ху)² -> делаем замену!

Подсказка 2

Да, двойная замена: сумма квадратов - это а, произведение - b. Чтобы получить второе уравнение, достаточно записать a²-b². Когда станет известно, чему равны а и b, сделаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В симметрической системе можно сделать замену $2 2 2 u= (x+y) = x + y +2xy,v = xy$ , тогда система эквивалентна: