Симметрия или цикличность в системе

Первое решение.

Если тройка является решением, то решениями являются . В силу этой цикличности системы мы можем не умаляя общности считать наибольшим.

Вычтем из первого уравнения второе и третье:

Если то поэтому должно достигаться равенство

Если то поэтому должно достигаться равенство

Таким образом, система может иметь решение только при При подстановке в любое из уравнений системы получаем

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что в любой тройке, являющейся решением, все переменные одного знака: они либо все неотрицательны, либо все неположительны. Это следует из того, что нечётная степень числа имеет тот же знак, что и само число. Действительно, среди переменных две имеют одинаковый знак, тогда правая часть уравнения, содержащего эти переменные, имеет тот же знак, значит и левая часть, а с ней и третья переменная имеют тот же знак. Кроме того, если одна из переменных равна то левая часть соответствующего уравнения равна значит сумма двух чисел одного знака в правой части тоже равна поэтому каждое из этих чисел равно

Внесём эту тройку в ответ. Тогда дальше можно считать, что все переменные не равны При умножении решения системы на снова получаем решение, следовательно, дальше можно считать, что а потом внести в ответ тройку с противоположными знаками.

Сложим все три уравнения и перенесем правую часть в левую:

Теперь рассмотрим функцию Нетрудно понять, что при значении функции отрицательно, а при положительно, а также при оно равно Отсюда следует, что все переменные не могут быть одновременно больше или одновременно меньше Так как иначе ведь в левой части стоит сумма трёх чисел одного знака, поэтому они все должны равняться откуда следует, что при этом

Итак, остались два случая, и

Если тогда — это не решение.

Если — это тоже не решение.

Таким образом доказано, что других решений, кроме уже найденных, нет.