Тема . Системы уравнений и неравенств

Симметрия или цикличность в системе

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела системы уравнений и неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#92117

Найдите все тройки положительных чисел x,y,z  удовлетворяющие системе уравнений

{ (x2+ xy +y2)(y2+yz+ z2)(z2+ zx+ x2) =xyz
  (x4+ x2y2+ y4) (y4+ y2z2+ z4)(z4+ z2x2+x4)= x3y3z3

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнения в системе довольно схожие, правая часть второго делится на правую часть первого. А можно ли что-то такое отметить и для левых частей?

Подсказка 2

Попробуйте разделить второе уравнение на первое!

Подсказка 3

(x⁴ + x²y²+ y⁴) = (x² + xy + y²)(x²- xy + y²)

Подсказка 4

Теперь мы умеем представлять x²y²z² в виде произведения трёх скобок. Давайте подумаем, а на что похожи выражения в скобках? Как можно оценить каждую из них?

Подсказка 5

Вспомните, что a² + b² ≥ 2ab!

Показать ответ и решение

Поделим второе уравнение на первое (так как обе части первого уравнения положительны). Отношение первых скобок равно

x4+x2y2+ y4   (x4+ x2y2+y4)(x2− y2)
x2-+xy+-y2-= (x2-+xy+-y2)(x−-y)(x+-y) =

      6   6
= ---x-−-y----= x2− xy+y2
  (x +y)(x3− y3)

Аналогичное равенство имеет место для второй и третьей скобок, тогда после деления получим:

( 2      2) (2       2) ( 2      2)   2 22
 x − xy +y ⋅ y − yz+ z ⋅ z − zx +x = x yz

С учетом того, что a2+ b2 ≥2ab, ∀a,b ∈ℝ  и того, что все числа положительные (тогда мы можем перемножать неравенства), получим:

 2 22  ( 2      2) ( 2      2) (2       2)
x y z = x − xy+ y ⋅ y − yz+ z ⋅z − zx+ x  ≥

≥ xy⋅yz⋅zx= x2y2z2

А значит, наше равенство выполняется только в случае a2 +b2 = 2ab,  то есть в случае равенства всех переменных. Тогда подставляя y =x,z = x  в первое уравнение, получим

(  )
 3x23 = x3

    1
x3 = 27-

x = 1= y = z
    3
Ответ:

(1,1,1)
3 3 3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!