Неравенства Мюрхеда и Шура

(a) Пусть и Докажем, что

По определению смежных наборов это неравенство, если перенести слагаемые в одну сторону и вынести за скобки общие множители, можно записать так

при этом — некоторый многочлен. Далее, раскладывая в произведение, имеем

Для случаев и это неравенство очевидно верно, а случая по определению не бывает. Теперь, чтобы доказать неравенство для смежных наборов, достаточно просуммировать все неравенства, о которых шла речь выше.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(b) Найдем наименьшее такое что для наборов и ( мажорирует ) верно (если такого не существует, то неравенство верно). Тогда Найдем наименьшее такое что Пусть теперь — такое максимальное такое, что и Тогда уменьшим на 1 и увеличим на 1. Мы знаем, что

поэтому при уменьшении на 1 знак неравенства сохранится (возможно, станет нестрогим), поскольку все числа набора и целые. Неравенство

для тоже верно, поскольку эти частичные суммы не менялись. Если то неравенство верно. Если же то заметим, что при этом поэтому неравенство при таких тоже верно. Таким образом, мы построили новый набор мажорирующий при этом мажорирует и они смежны (тогда неравенство для них следует из предыдущего пункта). Продолжая аналогичные операции рано или поздно мы придем к набору и неравенство будет доказано. Теперь, если подходящего не нашлось, то для и Но тогда поэтому

(поскольку в некоторый момент появилось строгое неравенство) — противоречие. Значит, подходящее всегда найдется, и неравенство доказано.