Тема Классические неравенства

Неравенства Мюрхеда и Шура

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#118207

Неравенство Мюрхеда. Даны два упорядоченных набора $α$ и $β$ из $n$ элементов, причем $α$ мажорирует $β.$ Тогда для любых неотрицательных $x1,$ $x2,$ …, $xn$ выполнено неравенство

Tα(x1,x2,...,xn)≥ Tβ(x1,x2,...,xn)

(a) Назовем наборы $α$ и $β$ смежными, если существуют натуральные $1≤ i< j ≤n$ такие, что $α = β +1 i i$ , $α =β − 1, j j$ и $α =β k k$ для $k ⁄= i,j.$ Докажите неравенство Мюрхеда в случае, когда $α$ и $β$ смежные.

(b) Докажите неравенство Мюрхеда в произвольном случае.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Определение. Пусть даны два упорядоченных набора $α$ и $β$ из $n$ элементов с равной суммой. Будем говорить, что набор $α$ мажорирует набор $β$ , если $α1 ≥ β1$ , $α1 +α2 ≥β1+ β2$ , …, $α1 +α2+ ...+ αn ≥ β1+ β2+...+βn$ . То есть для любого $1 ≤k≤ n$ сумма первых $k$ элементов $α$ не меньше суммы первых $k$ элементов $β$ .

Для упорядоченного набора $α$ , элементы которого $α1 ≥ α2 ≥ α3 ≥ ...≥ αn$ являются целыми неотрицательными числами, и переменных $x1$ , $x2$ , $x3$ , … $xn$ определим

∑ Tα(x1,x2,...,xn)= xασ1(1)xασ2(2)...xασn(n), σ

где сумма берется по всем возможным перестановкам $σ$ .

Показать доказательство

(a) Пусть $α = β +1 i i$ и $α =β − 1, j j$ $α = β , k k$ $k⁄= i,j.$ Докажем, что

α1 αi−1 α αi+1 α α α1 αi−1 α αi+1 α α x1 ...xi−1 x ixi+1 ...y j ...xnn+ y1 ...yi−1 y iyi+1 ...x j ...ynn≥

α1 αi−1 α−1 αi+1 α+1 α α1 αi−1α −1 αi+1 α +1 α ≥ x1 ...xi−1 x i xi+1 ...y j ...xnn +y1 ...yi−1 yi yi+1 ...x j ...ynn

По определению смежных наборов это неравенство, если перенести слагаемые в одну сторону и вынести за скобки общие множители, можно записать так

α α α α α− 1α +1 α−1 α +1 A(x iy j + y ix j − x i y j − yi x j )≥ 0

при этом $A$ — некоторый многочлен. Далее, раскладывая в произведение, имеем

αi−1αj αj αi−1 A (x − y)(x y − x y )≥ 0

Для случаев $αi− 1= αj$ и $αi > αj +1$ это неравенство очевидно верно, а случая $αi = αj$ по определению не бывает. Теперь, чтобы доказать неравенство для смежных наборов, достаточно просуммировать все неравенства, о которых шла речь выше.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(b) Найдем наименьшее такое $k,$ что для наборов $α$ и $β$ ( $α$ мажорирует $β$ ) верно $α +...+α >β + ...+ β 1 k 1 k$ (если такого $k$ не существует, то неравенство верно). Тогда $αk > βk.$ Найдем наименьшее такое $l> k,$ что $αl <αk − 1.$ Пусть теперь $i$ — такое максимальное $i$ такое, что $αk = αk+1 =...=αk+i$ и $k≤ k+ i< l.$ Тогда уменьшим $αk+i$ на 1 и $αl$ увеличим на 1. Мы знаем, что

α1+...+αk+i > β1+ β2 +...+ βk+i

поэтому при уменьшении $α k+i$ на 1 знак неравенства сохранится (возможно, станет нестрогим), поскольку все числа набора $α$ и $β$ целые. Неравенство

α1+ ...+ αs > β1+ β2 +...+ βs

для $s< k+i$ тоже верно, поскольку эти частичные суммы не менялись. Если $s≥ l,$ то неравенство верно. Если же $s< l,$ то заметим, что $αk+i+1,...,αs ≥ αk− 1,$ при этом $βk+i+1,...,βs ≤αk − 1,$ поэтому неравенство при таких $s$ тоже верно. Таким образом, мы построили новый набор $α′,$ мажорирующий $β,$ при этом $α$ мажорирует $α′$ и они смежны (тогда неравенство для них следует из предыдущего пункта). Продолжая аналогичные операции рано или поздно мы придем к набору $β$ и неравенство будет доказано. Теперь, если подходящего $l$ не нашлось, то $α ≥ α − 1 k+j k$ для $j ≥0$ и $β ≤ β ≤ α − 1. k+j k k$ Но тогда $β ≤ α , k+j k+j$ поэтому

α1+ α2+ ...+ αn > β1+β2+ ...+ βn

(поскольку в некоторый момент появилось строгое неравенство) — противоречие. Значит, подходящее $l$ всегда найдется, и неравенство доказано.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#118213

Пусть упорядоченные наборы $α$ и $β$ имеют одинаковое количество элементов. Докажите, что неравенство Мюрхеда не верно, если $α$ не мажорирует $β.$

Показать доказательство

Если $α +...+ α ⁄=β + β + ...+β , 1 n 1 2 n$ где $n$ — число элементов в наборе $α,$ то можно подставить вместо всех переменных в неравенство Мюрхеда одно и то же число $t.$ Тогда получим утверждение о том, что

α+...+α β+...+β n!t1 n ≥ n!t1 n

которое верно для любых $t.$ Очевидно, что существует $t,$ для которого это не так (одна из сумм больше, значит, одна из сумм ненулевая, тогда $t,$ которое противоречит этому утверждению, легко подбирается).

Рассмотрим еще один случай. Если

α1+ α2+ ...+ αk < β1+β2+ ...+ βk

причем $k$ — наименьшее натуральное, для которого это верно. Пусть $x1 =x2 = ...=xk = t$ и $xk+1 =xk+2 = ...=xn =0$ — значения переменных в неравенстве Мюрхеда. Если бы неравенство Мюрхеда было верно, то мы бы получили утверждение о том, что многочлен $T1(t)$ степени $k$ для любых $t$ не меньше многочлена $T2(t)$ степени $m,$ где $k< m.$ Это, конечно, неверно, и мы снова получили противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#118220

Для положительных $a,$ $b,$ $c$ докажите неравенство

-a-- -b-- -c-- 3 b+ c + c+ a + a+ b ≥ 2

Показать доказательство

Умножим неравенство на все встречающиеся знаменатели и раскроем все скобки. Получившееся представляем в виде выражений $Ti,j,k(a,b,c)$ из неравенства Мюрхеда

T3,0,0(a,b,c)+2T2,1,0(a,b,c)+ T1,1,1(a,b,c)≥ T1,1,1(a,b,c)+ 3T2,1,0(a,b,c)

T3,0,0(a,b,c)≥ T2,1,0(a,b,c)

Последнее неравенство верно по неравенству Мюрхеда.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#118223

Неравенство Шура. Докажите, что для любых неотрицательных чисел $x,$ $y,$ $z$ и натурального $n≥ 3$ выполнено неравенство

Tn,0,0(x,y,z)+Tn−2,1,1(x,y,z)≥ 2Tn−1,1,0(x,y,z).

Показать доказательство

Неравенство из условия равносильно

n n n n− 2 n−2 n−2 n−1 n−1 n−1 n−1 n− 1 n−1 x +y + z + x yz+ y xz+z xy ≥ x y+y x+ y z +z y+ x z +z x

Перегруппируем слагаемые

n n−1 n−1 n−2 n n−1 n−1 n−2 n n−1 n−1 n−2 (x − x y− x z+x yz)+(y − y x− y z+ y xz)+ (z − z x− z y+ z xy) ≥0

Теперь каждую из скобок раскладываем на множители

xn−2(x− y)(x− z)+yn−2(y− x)(y− z)+ zn−2(z− x)(z− y)≥0

Неравенство симметрично относительно переменных $x,y,z.$ Тогда можно полагать, что $x ≥y ≥z.$ Ясно, что $zn−2(z− x)(z− y)≥0.$ Оценим сумму двух других слагаемых.

xn− 2(x− y)(x− z)+yn−2(y− x)(y− z)= (x− y)(xn− 2(x− z)− yn−2(y− z))≥ 0

Так как $xn−2 ≥ yn−2$ и $x − z ≥y− z,$ то последнее выражение есть произведение двух неотрицательных выражений, поэтому сумма первых двух слагаемых неотрицательно, и неравенство доказано.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#118225

Сумма неотрицательных чисел $x,$ $y$ и $z$ равна $1.$ Докажите неравенство

-7 0≤ xy+yz+ zx− 2xyz ≤27

Показать доказательство

Без ограничений общности можно полагать, что $x ≥y ≥z.$ Рассмотрим $xy− 2xyz = xy(1− 2z).$ Так как переменные упорядочены, имеем $x+y+z 1 z ≤ 3 ≤ 3,$ поэтому рассматриваемое выражение неотрицательно, поэтому и $xy +yz+ zx− 2xyz$ неотрицательно.

Докажем теперь верхнюю оценку. Так как $x+ y+ z = 1,$ исходное неравенство равносильно

7 3 xy+yz+ zx= (xy+yz+ zx)(x+ y+ z)≤2xyz+ 27(x +y+ z)

В обозначениях неравенства Мюрхеда исходное неравенство может быть записано так:

( ) T2,4,0(x,y,z)+ T1,1,1(x2,y,z)-≤ T1,1,1(x3,y,z)+ 277 T3,0,0(x2,y,z)-+3T2,1,0(x,y,z)+T1,1,1(x,y,z)

Для краткости далее будем опускать аргументы многочленов $Ti,j,k.$ Умножаем неравенство на $54$

54T2,4,0+ 27T1,1,1 ≤ 18T1,1,1+42T2,1,0+ 14T1,1,1

12T2,1,0 ≤ 5T1,1,1+7T3,0,0

По неравенству Шура $5T1,1,1+5T3,0,0 ≥10T2,1,0.$ По неравенству Мюрхеда $2T3,0,0 ≥2T2,1,0.$ Сложив данные неравенства, получаем требуемое. Неравенство доказано.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#91086

Для положительных чисел $x,y,z$ докажите неравенство

3 3 3 (x+ y)(y+ z)(z+ x)+ xyz ≤ 3(x + y +z )

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметричное относительно x, y и z неравенство. Они часто решаются с помощью неравенства Мюрхеда и неравенства Шура. Попробуйте применить какое-нибудь из них.

Подсказка 2

Раскройте скобки и примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Раскрыв скобки имеем:

T1,1,1(x,y,z) 3 2 +T2,1,0(x,y,z)≤ 2T3,0,0(x,y,z)

что очевидно следует из неравенства Мюрхеда.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91087

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство

(a+-b− c)2 (b+c−-a)2- (c+-a−-b)2- ab + bc + ca ≥3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметричное относительно a, b и c неравенство. Они часто решаются с помощью неравенства Мюрхеда и неравенства Шура. Попробуйте применить какое-нибудь из них.

Подсказка 2

Домножьте на знаменатели, раскройте скобки и примените неравенство Шура.

Показать доказательство

Домножим на $abc,$ раскроем скобки, после этого имеем:

T3,0,0(a,b,c)+ T1,1,1(a,b,c)≥ 2T2,1,0(a,b,c)

что очевидно по неравенству Шура.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91088

Неотрицательные числа $x,y,z$ таковы, что $x2+y2+ z2 = 3.$ Докажите неравенство

x+y +z ≥xy+ yz+ zx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие задачи не однородное, поэтому применять классические неравенства и прочие приемы тяжело. Попробуйте сделать условие задачи однородным.

Подсказка 2

Сделаем замену x=a/k, y=b/k, z=c/k. Тогда условие станет однородным и симметричным относительно a, b и c. Что же делать с k?

Подсказка 3

Выразите k из условия через a, b и c. А далее примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Сделаем замену

a b c x= λ ,y = λ,z = λ

Получим следующую задачу: положительные числа $a,b,c,λ$ таковы, что $2 2 2 2 a + b +c = 3λ,$ докажите, что $λ(a+ b+ c)≥ ab+ ac +bc.$

Выразим $λ,$ тогда нужно доказать следующее

∘ ---------- a2+-b2+-c2(a +b+ c)≥ab+ ac+bc 3

После возведения в квадрат получим

2 2 2 2 2 (a + b +c )(a+ b+ c) ≥ 3(ab+ ac+bc)

Раскроем скобки, домножим на $2$ и получим, что необходимо доказать следующее

T4,0,0(a,b,c)+ 2T2,2,0(a,b,c)+4T3,1,0(a,b,c)+ 2T2,1,1(a,b,c)≥ 3T2,2,0(a,b,c)+ 6T2,1,1(a,b,c)

Последнее очевидно из неравенства Мюрхеда.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#91089

Для положительных чисел $a,b,c$ и $d$ докажите неравенство

∘-2---2--2---2 ∘ ---------------- a-+-b-+-c+-d-≥ 3 abc+bcd+cda+-dab- 4 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметричное относительно a, b, c и d неравенство. Они часто решаются с помощью неравенства Мюрхеда и неравенства Шура. Попробуйте применить какое-нибудь из них.

Подсказка 2

Да больно, но нужно возвести в шестую степень и преобразовать выражение. После этого примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Возведем в шестую степень. Теперь достаточно доказать, что

2 2 2 2 3 2 (a + b+ c +d ) ≥ 4(abc+bcd+cda+ dab)

После раскрытия скобок останется неравенство:

T6,0,0,0(a,b,c,d) 3T4,2,0,0(a,b,c,d) 2T2,2,2,0(a,b,c,d) 6 + 2 +T2,2,2,0(a,b,c,d) ≥ 3 + 2T2,2,1,1(a,b,c,d)

Оно верно, так как суммы коэффициентов перед $T$ одинаковые, а все наборы слева мажорируют наборы справа.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91090

Сумма положительных чисел $a,b,c$ равна $1.$ Докажите, что

--1-- -1--- --1-- --7--- a+ bc + b+ca + c+ ab ≥ 1+ abc

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие задачи неоднородное, поэтому применять классические неравенства и прочие приемы тяжело. Попробуйте сделать условие задачи однородным.

Подсказка 2

Оказывается, что a+bc=(a+b)(a+c). Тогда левая часть неравенства равна 2/((a+b)(a+c)(b+c)). Неравенство до сих пор не однородное. Сделайте его таким.

Подсказка 3

Сделайте неравенство однородным, используя (a+b+c)^3=1. Далее домножьте на знаменатели и воспользуйтесь неравенством Мюрхеда(или транснеравенством для нужных наборов).

Показать доказательство

Заметим, что $a+bc= a(a+b+ c)+bc= (a+b)(a +c).$ Аналогично для двух других знаменателей. Тогда сумма дробей в левой части равна

1 1 1 2 (a+-b)(a+-c) +(b+-c)(b+a) + (c+-a)(c+b) = (a+-b)(b+c)(c+-a)

т.е. исходное неравенство равносильно неравенству $2(a+b+ c)3 +2abc≥7(a+ b)(b+c)(c+ a).$ Если в нём раскрыть скобки и привести подобные, то останется неравенство $2a3+ 2b3+2c3 ≥ a2b+ ab2+b2c+ bc2+ c2a+ ca2,$ которое верно по неравенству Мюрхеда для наборов $(3,0,0)$ и $(2,1,0).$ Или если словами попроще, то верно по транснеравенству для наборов $a,a,b,b,c,c$ и $a2,a2,b2,b2,c2,c2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#91091

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $ab+ bc +ca= a+ b+c.$ Докажите, что

a +b+ c+ 1≥4abc

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие задачи неоднородное, поэтому применять классические неравенства и прочие приемы тяжело. Попробуйте сделать условие задачи однородным.

Подсказка 2

Сделаем замену a=a'/k, b=b'/k, c=c'/k. Тогда условие станет однородным и симметричным относительно a', b', c'. Что же делать с k?

Подсказка 3

Выразите k из условия через a', b' и c'. Далее примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Сделаем замену

a′ b′ c′- a= λ ,b = λ,c= λ

Штрихи далее опустим. Получим следующую задачу: положительные числа $a,b,c,λ$ таковы, что $λ(a+ b+c)= ab+bc+ ca,$ докажите, что $2 3 λ (a+ b+c)+λ ≥4abc.$ Подставив $λ$ поймем, что нужно доказать следующее

(ab+bc+ ca)2(a+ b+ c)2+ (ab+ bc+ca)3 ≥4abc(a+ b+ c)3

Раскроем скобки, приведем подобные и получим

3 1 T4,2,0(a,b,c)+ 2T3,3,0(a,b,c)≥ T4,1,1(a,b,c)+ T3,2,1(a,b,c)+ 2T2,2,2(a,b,c)

что очевидно из неравенства Мюрхеда.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#91092

Сумма положительных чисел $x,y,z$ равна $1.$ Для произвольного натурального $k$ докажите неравенство

xk+2 yk+2 zk+2 1 xk+1+yk-+zk + yk+1+-zk+xk + zk+1-+xk+-yk ≥ 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

В условии сказано, что x+y+z=1, значит, вы умеете менять степень любого слагаемого на 1. Сделайте все слагаемые в знаменателях степени k+2. Что делать дальше?

Подсказка 3

Теперь условие задачи стало однородным. Домножьте на все знаменатели, сгруппируйте слагаемые на симметрические суммы. После чего напишите много Мюрхедов.

Показать доказательство

Покажем решение без особой технической реализации. Сделаем неравенство однородным. Для этого в знаменателе первой дроби $xk+2$ домножим на $x+ y+ z,$ а $k k y +z$ домножим на $2 (x+ y+ z).$ Аналогично проделаем с остальными слагаемыми. Теперь неравенство однородное. Домножим на все знаменатели, после чего нужно сгруппировать слагаемые на симметрические суммы. Это удастся сделать, так как изначальное неравенство симметричное относительно $x,y,z.$ После этого нужно применить неравенство Мюрхеда много раз.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#94741

Докажите, что для любого многочлена $P(x)$ , принимающего во всех точках неотрицательные значения, и для любого набора ( $x,y,z$ ) вещественных чисел, а также неотрицательного вещественного $t$ справедливо неравенство

t+2 t+2 t+2 t+1 t+1 t+1 t+1 P (x)+P (y)+P (z)− (P(z)P (x)+ P(z)P (y)+ P(y)P (x)+ P(y)P (z)+

t+1 t+1 t t t +P(x)P (y)+ P(x)P (z))+ P(x)P(y)P(z)+ P(x)P(z)P (y)+P (y)P(z)P (x)≥ 0.

Показать доказательство

Пусть $P(x)= a,P (y)= b,P (z)= c.$ По условию $a,b,c≥ 0.$ Тогда легко видеть, что выражение в левой части есть

∑ t 2 ∑ t cyca (a − ca− ba +cb)= cyca (a− b)(a− c)

Неравенство

∑ at(a− b)(a− c)≥ 0 cyc

представляет собой неравенство Шура, поэтому исходное неравенство выполняется.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#98107

Произведение положительных чисел $x,$ $y$ и $z$ равно $1.$ Докажите, что

2 2 2 2 2 2 2 4 4 44 4 4 27(y z +x)(xz + y)(x y +z)≤ 8(xy+ yz+ zx) (xy + y z+ z x)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Проще всего решать однородные неравенства. Правая часть уже однородна, она имеет степень 12. Как привести левую часть к тому же?

Подсказка 2

Умножением на xyz вы можете сделать все скобки в левой части степени 4. Как после этого решать неравенство? Вспомните неравенство Мюрхеда(хотя бы для 3 переменных).

Показать доказательство

Обозначим через $(a,b,c),a≥ b≥ c$ все одночлены вида $xaybzc, xbyazc, ....$ Назовём набор $(a,b,c)$ мажорирующим для $(a′,b′,c′),$ если

′ a ≥a

a +b≥ a′+b′

a +b+ c≥ a′+ b′+c′

a +b+ c= a′+b′+c′

Покажем, что для симметричных неравенств, где набор $(a,b,c)$ мажорирует $′ ′ ′ (a,b,c)$ выполнится $′ ′ ′ (a,b,c)≥(a,b,c).$ (Например, для $(2,0,0)$ и $(1,1,0)$ — $2 2 2 x + y +z ≥ xy+ xz+yz).$ Будем считать $′ b< b$ (иначе аналогично с $c$ и $′ c).$ Давайте зафиксируем $′ c,c$ и уменьшим $a$ и увеличим $b$ так, чтобы $a$ стало равно $a′.$ Тогда заметим, что $′ ′ ′ ′ xayb+ xbya ≥ xa yb+a−a + ya xb+a−a .$ Значит, мы можем сравнять первый коэффициент у двух наборов, не увеличив разность между ними. Аналогично сравняем второй коэффициент, третий сравняется автоматически и неравенство обратится в равенство. Значит, изначальный знак был верным. Вообще, мы сейчас предоставили план доказательства неравенства Мюрхеда для трёх переменных.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь пора решить задачу. Давайте приведём неравенство к однородному. Для этого в левой части домножим $x$ на $xyz = 1.$ Аналогично сделаем с $y$ и $z.$ Тогда получится следующее неравенство (уже однородное):

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 44 27(y z + xyz)(x z + yxz)(x y + zxy)≤ 8(xy+ yz+ zx) (x y + yz + zx )

Вынесем из левой части общие множители наружу:

2 22 2 2 2 2 44 4 4 4 4 27x y z(yz+x )(xz +y )(xy+ z)≤ 8(xy+yz+ zx)(x y +y z +z x )

А теперь аккуратно раскроем скобки. Тогда в левой части получатся слагаемые $54(4,4,4)+27(5,5,2)+ 27(6,3,3),$ а в правой части будет $8(6,6,0)+8(6,4,2)+16(5,2,2)+ 16(6,5,1).$ Ясно, что левые наборы мажорируются правыми, а суммы коэффициентов с учётом перестановок одинаковы и равны $216.$ (Любой набор справа кроме $(5,5,2)$ мажорирует любой левый, а набор $(5,5,2)$ есть слева с большим коэффициентом, поэтому можно просто его вычесть). Значит, неравенство верно.