Неравенства Мюрхеда и Шура

Если где — число элементов в наборе то можно подставить вместо всех переменных в неравенство Мюрхеда одно и то же число Тогда получим утверждение о том, что

которое верно для любых Очевидно, что существует для которого это не так (одна из сумм больше, значит, одна из сумм ненулевая, тогда которое противоречит этому утверждению, легко подбирается).

Рассмотрим еще один случай. Если

причем — наименьшее натуральное, для которого это верно. Пусть и — значения переменных в неравенстве Мюрхеда. Если бы неравенство Мюрхеда было верно, то мы бы получили утверждение о том, что многочлен степени для любых не меньше многочлена степени где Это, конечно, неверно, и мы снова получили противоречие.