Правильная замена и преобразование выражений
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
Докажите, что
Подсказка 1
Рассмотрим частный случай b = d. Надо показать, что 1/(a+b)² + 1/(b+c)² ≥ 1/(ac + b²).
Подсказка 2
Попробуем привести все к одному знаменателю и раскрыть скобки. Видно ли полные квадраты?
Подсказка 3
Если в исходном неравенстве сгруппировать дроби, то можно применить частный случай. Какие варианты группировок возможны?
Подсказка 4
Если ac ≥ bd, группируем (a+b, a+d) и (b+c, c+d). Если ac < bd, группируем (a+b, b+c) и (d+a, d+c).
Подсказка 5
Что даёт применение вспомогательного неравенства к каждой паре? Как сравнить получившуюся сумму с нужной правой частью?
Подсказка 6
В случае ac ≥ bd, хотим показать, что 1/(a²+bd) + 1/(c²+bd) ≥ 2/(ac + bd). Попробуем преобразовать неравенство к виду (ac−bd)(a-c)² ≥ 0.
Лемма. Для любых трех положительных чисел 
выполняется неравенство:
Неравенство эквивалентно следующему:
Рассмотрим разность левой и правой частей. Сначала раскроем скобки в каждом выражении.
Выражение в левой части:
Выражение в правой части:
Теперь вычтем из первого результата второй. В результате получаем:
Сгруппируем это выражение:
Так как 
оба слагаемых неотрицательны: 
и 
Следовательно, их сумма также
неотрицательна. Перейдем к решению исходной задачи.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Далее 
будем обозначать левую часть неравенства. Рассмотрим два случая.
Случай 1: 
Сгруппируем слагаемые в левой части исходного неравенства:
Применим доказанное неравенство для трех чисел к каждой паре скобок:
-
Для первой пары:
-
Для второй пары:
Сложив эти два неравенства, получим:
Теперь докажем, что
Это эквивалентно:
Раскроем скобки. Левая часть:
Правая часть:
Перенесём всё в левую часть и приведём подобные:
Поскольку 
и по предположению этого случая 
неравенство верно.
Случай 2: 
Сгруппируем слагаемые иначе:
И применим неравенство:
-
Для первой пары:
-
Для второй пары:
Сложив неравенства, получим:
Аналогично доказываем, что
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
