Тема . Классические неравенства

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#141097

Для произвольных положительных $a,$ $b,$ $c$ докажите, что

a3+-3b3 b3-+3c3 c3+3a3 2 2 2 2 5a+ b + 5b+ c + 5c+a ≥3(a + b +c ).

Показать доказательство

По неравенству Коши-Буняковского-Шварца для дробей:

-a3-- --b3-- -c3-- --a4-- ---b4-- --c4--- ------(a2+-b2+-c2)2------ 5a +b +5b+ c + 5c+ a = 5a2+ab +5b2+ bc + 5c2+ ac ≥ 5(a2+ b2+c2)+ (ab+ bc+ ac)

3 3 3 ( 4 4 4 ) 2 2 2 2 -3b--+ -3c--+ -3a--= 3 --b--2 +---c-2 + --a--2-≥ -2---32(a2+b-+-c)------ 5a +b 5b+ c 5c+a 5ab+ b 5bc+ c 5ac+ a a + b +c + 5(ab+ bc+ac)

Пусть $a2 +b2+ c2 =X$ и $ab+bc+ ac=Y.$ Сложив прошлые неравенства, получим:

( ) a3+3b3+ b3+-3c3+ c3+-3a3 ≥ X2 --1---+ --1---+---1-- +---1-- 5a +b 5b+c 5c+ a 5X + Y X+ 5Y X + 5Y X + 5Y

По неравенству Коши-Буняковского-Шварца для дробей:

1 1 1 1 16 5X-+Y-+ X-+5Y-+ X-+5Y-+ X-+5Y-≥ 8X-+16Y-

Пользуясь тем, что $X ≥ Y$ (можно перенести все слагаемые в одну сторону, домножить на 2 и разложить на сумму трёх квадратов):

3 3 3 3 3 3 a-+-3b-+ b-+-3c + c-+-3a ≥ X2--16---≥ X2-16-= 2X 5a +b 5b+ c 5c+ a 8X +16Y 24X 3

Получили требуемое неравенство.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse