Тема Счётная планиметрия

Отрезки касательных и секущих

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела счётная планиметрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#70311Максимум баллов за задание: 7

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA ,BB ,CC 1 1 1$ . На стороне $AB$ выбрана точка $P$ так, что окружность, описанная около треугольника $PA1B1$ , касается стороны $AB$ . Найдите $PC1$ , если $PA = 30$ и $P B = 10$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Становится ясно, что нам придётся считать отрезки. По условию нам даны отрезки касательных, тогда какой прямой нам не хватает, чтобы воспользоваться известным равенством для окружности?

Подсказка 2

Нам необходима секущая! Давайте проведем ее через известные точки и начнём считать.

Подсказка 3

Проведите A₁B₁ до пересечения с AB в точке K и обозначьте KB = x. Что можно сказать про A₁B₁AB?

Подсказка 4

A₁B₁AB лежат на одной окружности, так что для них тоже можно воспользоваться равенством произведения отрезков секущих!

Подсказка 5

KA₁* KB₁ = KA * KB. KP² = KA₁* KB₁. Отсюда мы можем выразить x! Но ведь нам нужно было найти PC₁…было бы очень полезно найти еще одну окружность, в которой PC₁ был бы частью отрезка секущей.

Подсказка 6

Обратите внимание на окружность, проходящую через середины сторон и основания высот!

Показать ответ и решение

$PIC$

Продлим отрезки $AB$ и $B1A1$ до пересечения в точке $K$ и обозначим длину $KB = x$ .

Так как произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: $KA1 ⋅KB1 = KA ⋅KB.$ А также квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки, поэтому $KP 2 = KA1 ⋅KB1.$ Следовательно $KP 2 = KA ⋅KB$ . Выразив эти отрезки через $x$ получим $x= 5$ и $KP = 15$ .

Отметим $M$ — середину стороны $BA$ . Основания высот $A1, B1, C1$ и точка $M$ лежат на одной окружности(Окружность девяти точек). Тогда $KC1⋅KM = KA1⋅KB1$ по свойству отрезков секущих, проведенных из одной точки $K$ .

А также имеем $KP 2 = KA1 ⋅KB1$ . И так как $KP = 15, KM =25$ , получаем $KC1⋅25= 225 =⇒ KC1 = 9 =⇒ PC1 = 6.$

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#64468Максимум баллов за задание: 7

Окружность касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $D$ и $E$ соответственно и пересекает сторону $AC$ в точках $F,G$ (точка $F$ лежит между точками $A$ и $G)$ . Найдите радиус этой окружности, если известно, что $AF = 5,GC = 2,AD :DB =2 :1$ и $BE = EC.$

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сразу запишем условие: BD=BE=EC=x, AD=2x, AF=5, CG=2. Практически все отрезки найдены, а какой так и хочется найти?

Подсказка 2

Найдем отрезок GF! Это отрезок секущей, лежащей внутри окружности. В какой теореме фигурирует такой отрезок?

Подсказка 3

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей! Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. Обозначив GF=t, без труда найдем t и x. Смотрите, t можно выразить аж двумя способами!

Подсказка 4

Итак, t=3, x=sqrt(10). Супер, мы знаем все стороны треугольника! Теперь надо как-то провести радиус…что если опустить радиус из I — центра вписанной окружности на AB. Как можно найти радиус в получившемся треугольнике?

Подсказка 5

Хочется найти тангенс половины угла B, значит нам нужны синус и косинус половины угла B. Как это можно сделать?

Подсказка 6

Воспользуйтесь формулой понижения степени — там как раз используется половина угла! Но как найти косинус угла B?…

Подсказка 7

Мы ведь знаем все стороны — воспользуемся теоремой косинусов ;)

Показать ответ и решение

Пусть $EC = EB = BD =x$ (пользуемся равенством касательных), а $GF = t.$

$PIC$

По теореме о касательной и секущей $2 2 x =EC = CG ⋅CF = 2(2 +t)$ и $2 2 4x = AD = AF ⋅AG = 5(5 +t)$ . Из полученной системы легко найти $t= 3$ и $√-- x= 10$ . Далее по теореме косинусов для $ABC$ :

102 = 9x2+4x2− 2⋅2x⋅3x⋅cos∠B

10= 13− 12cos∠B

cos∠B = 1= 2cos2 ∠B-− 1 4 2

∠B sin∠B∕2 ∘3-∕8 ∘ --- tg-2-= tg∠IBD = cos∠B∕2 =∘5-∕8 = 3∕5

ID =BD ⋅tg ∠B-= xtg ∠B-= √6 2 2

Ответ:

$√6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#90850Максимум баллов за задание: 7

Точки $A,B$ и $C$ лежат на окружности радиуса 2 с центром $O$ , а точка $K−$ на прямой, касающейся этой окружности в точке $B$ , причем $∘ ∠AKC = 46$ , а длины отрезков $AK,BK, CK$ образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол $AKO$ и расстояние между точками $A$ и $C.$ Какой из углов больше: $ACK$ или $AOK?$

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2007, задача 4 (см. www.mathnet.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала разберёмся аккуратно с чертежом! Из условия мы сразу можем понять: какой из отрезков АК, ВК, СК больший, а какой – меньший. Попробуйте из этого установить, где мы имеем дело с секущей, а где – с касательной? Достройте точки пересечения проводимых прямых с окружностью – они нам пригодятся!

Подсказка 2

Как можно использовать данную нам прогрессию из длин? Может быть какие-то отрезочки удачно выражаются друг через друга?) А можно ли эти же отрезки связать друг с другом иначе – какие теоремы о касательных и секущих нам известны?

Подсказка 3

Итак, мы видим геометрическую прогрессию, попробуйте выразить ВК через два других отрезка. Свойство секущих, проведённых из одной точки, помогает нам увидеть на картине равнобедренный треугольник! Запишите сразу его уголочки :)

Подсказка 4

Симметрия поможет нам понять, на какой прямой лежит центр окружности. Один из искомых уголочков у нас в кармане!

Подсказка 5

Какая теорема хорошо ищет длины сторон в треугольнике при известном радиусе описанной окружности?) Найдите треугольник со стороной АС и примените её. Тригонометрии в ответе не стоит бояться :)

Подсказка 6

Обнаруженная ранее биссектриса, а также точное применение свойств вписанных и центральных углов поможет нам в ответе на последний вопрос задачи.

Показать ответ и решение

Сначала заметим, что $KA$ и $KC$ не могут быть касательными, поскольку их длина отличается от длины $KB$ , тогда они обе секущие, причём расположение точек именно такое, поскольку прогрессия возрастает.