Подобные треугольники и теорема Фалеса

Первое решение. Поскольку — биссектриса угла отрезки и равны как хорды, стягивающие равные дуги. Теперь достаточно доказать, что (тогда значит, — прямоугольный треугольник, и — его медиана, проведенная из прямого угла).

Так как

треугольник — равнобедренный (симметричный относительно серединного перпендикуляра к Отметим на стороне точку так, что Из симметрии треугольника имеем Тогда имеем и значит, — средняя линия треугольника значит, что завершает решение.

Второе решение. Пусть Заметим, что — биссектриса угла Действительно, продлим до пересечения с в точке Тогда, используя подобия и имеем

Из полученного равенства вытекает, что — биссектриса треугольника Отсюда

Из вписанности имеем а из параллельности следует Поэтому значит, четырёхугольник — вписанный. Отсюда

Из вписанности

Тогда

что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Отметим, что в решении 2 при доказательстве того, что — биссектриса угла не использовалось то, что — биссектриса угла А при доказательстве вписанности не использовалось также равенство