Подобные треугольники и теорема Фалеса

Первое решение. Пусть — точка пересечения прямых и Тогда утверждение задачи равносильно следующему равенству:

Пусть и Тогда из подобия треугольников и следует

откуда

Далее, из подобия треугольников и следует

Утверждение задачи следует из равенства

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Ясно, что

где — расстояние от точки до прямой Аналогично

где — расстояние от точки до прямой Поэтому из равенства следует, что

Первое решение. Через вершину проведём прямую, параллельную до пересечения с прямыми и в точках и соответственно. Тогда треугольник подобен треугольнику треугольник — треугольнику а треугольник — треугольнику Следовательно,

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Поместим в вершину массу в — массу в — массу Тогда точка — центр тяжести этой системы материальных точек и

Замечание. Данное утверждение известно как теорема Ван-Обеля.

Обозначим: — центр и радиус окружности точки пересечения со средней линией и основанием аналогично точки пересечения со средней линией и основанием Тогда Из подобия треугольников имеем:

Аналогично:

По теореме Пифагора для прямоугольных имеем:

Так как — прямоугольные, получаем:

Раз равны квадраты, то и — равнобедренный.

Отметим на отрезке такую точку что

Тогда равенство из условия задачи можно записать в виде

откуда и треугольники и  подобны. Но треугольники и равны, значит, значит, треугольник равнобедренный, а вместе с ним и треугольник равнобедренный.

Пусть — точка, симметричная точке относительно В четырехугольнике диагонали пересекаются в точке и делятся точкой пересечения пополам, следовательно является параллелограммом, в частности прямые и параллельны. Пусть — точка, пересечения прямых и тогда так же является параллелограммом, таким образом, Аналогично, И

Докажем, что Действительно, из подобия треугольников и следует равенство отношений Аналогично

Наконец, из равенств и следует равенство отношений следовательно, что влечет

Наконец, точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку поскольку Пусть — середина тогда то есть так же является серединой отрезка следовательно, серединные перпендикуляры к отрезкам и совпадают, значит лежит на серединном перпендикуляре к что завершает доказательство.

Пусть, не умаляя общности, Имеем и аналогично Следовательно, треугольники и подобны. Пусть и — описанные окружности треугольников и Поскольку прямая касается

Пусть — центр и прямые пересекаются в Воспользуемся тем, что треугольники и подобны, и тем, что касается в а точка — лежит на Рассмотрим касание и пусть пересекает в Точки и соответствуют друг другу в подобных треугольниках и и следовательно Следовательно четырёхугольник вписанный, и поскольку имеем Это значит, что — ортогональная проекция на которая является её серединой. Таким образом, лежит на медиане треугольника

Проведём из точек и прямые, параллельные их пересечения с обозначим за и соответственно. По теореме Фалеса

Тогда требуется доказать, что Заметим, что точки и симметричны относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма, потому из чего следует необходимое.

Поскольку и подобны, значит Также подобны и из чего Тогда достаточно доказать, что оба эти отношения равны из подобий пар треугольников и и

Обозначим точку — пересечение и Тогда — средняя линия треугольника значит и и подобны. Значит

Из следует добавляя равенство уголков (центр вписанной окружности треугольника лежит ведь на биссектрисе), получаем подобие и откуда Аналогичными рассуждениями получаем, что Таким образом

по сумме углов Отсюда следует доказываемое.

Обозначим через середину стороны Отметим на луче точку симметричную точке относительно прямой

Поскольку

то и точка лежит на отрезке Поскольку

то и Следовательно, у треугольников и стороны соответственно параллельны, поэтому они подобны с коэффициентом откуда и искомое отношение равно

Треугольники и подобны по двум углам. Значит,

С другой стороны, по свойству биссектрисы треугольника Поэтому Отсюда и из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что

Пусть прямые и пересекаются в точке

Из подобия треугольников и следует, что

Из подобия треугольников и имеем Поэтому то есть — биссектриса треугольника

По свойству угла между касательной и хордой А учитывая, что треугольники и равнобедренные, можем сказать, что они подобны. Значит, а т.к. треугольник равнобедренный, то Следовательно, из этого получаем, что а раз то — параллелограмм.

Пусть тогда запишем подобие треугольников и с учётом, что — точка пересечения диагоналей в параллелограмме

В итоге получаем

Пусть — основание высоты из точки а — основание перпендикуляра, опущенного из точки на Прямая — серединный перпендикуляр к отрезку поэтому она параллельна высоте

По свойству ортоцентра и По условию прямые и параллельны, следовательно, — прямоугольник и

Первое решение.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому Треугольники и подобны по двум углам ( как вертикальные, и их коэффициент подобия равен 2. Пусть тогда и поскольку — середина стороны Стало быть, и так как треугольники и подобны. Пусть тогда и Следовательно, и Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По условию прямые и параллельны, а прямая перпендикулярна прямой поэтому По условию параллелограмм, значит, Отрезок — средняя линия треугольника поэтому Кроме того, и перпендикулярны поэтому точки и лежат на одной прямой. Таким образом, и параллельна Стало быть, — параллелограмм. Пусть — точка пересечения его диагоналей, тогда Следовательно, и — медианы треугольника , а — точка их пересечения, поэтому и, значит, Из подобия треугольников и следует, что Тогда если то и а, значит, и

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Пусть точка — пересечение этой высоты с описанной окружностью треугольника точка диаметрально противоположна точке на этой окружности, а точка — вторая точка пересечения прямой с этой окружностью. Из параллельности прямых и следует, что прямая перпендикулярна высоте Поскольку — диаметр окружности, и, значит, прямые и параллельны. Стало быть, — средняя линия треугольника поэтому Далее,

поэтому в треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, а, значит, и медианой. Таким образом, Из равенств и получаем, что

По условию прямые и параллельны, а прямая перпендикулярна прямой поэтому и точки и диаметрально противоположны. Следовательно, и поэтому прямые и параллельны. Таким образом, четырехугольник является параллелограммом. Стало быть, и отрезок является медианой в треугольнике Но отрезок также является медианой в этом треугольнике. Следовательно, — точка пересечения медиан этого треугольника и Тогда по теореме Фалеса Но мы уже знаем, что поэтому

Пусть — центр окружности Заметим, что

Прямоугольные треугольники и подобны, поскольку

Тогда

Из подобия треугольников и мы получаем

Поэтому

Так как стороны являются последовательными членами арифметической прогрессии, то пусть При этом заметим, что так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Найдем сложив все стороны и приравняв к 6. Получим

Проведем биссектрису угла и отметим равные отрезки и равные углы как на картинке.

По свойству биссектрисы

(1)

Так как треугольники и подобны по двум углам

(2)

Подставим в

Подставим в

Пусть — точка пересечения прямых и точка — точка пересечения прямых и Из параллельности прямых и следует равенство углов

Достаточно показать, что что эквивалентно тому, что прямая касается окружности , то есть тому, что верно равенство произведений отрезков секущих а в силу , равенство

Осталось заметить, что, в силу подобия треугольников и

а в силу подобия треугольников и

Получаем

Домножив обе части равенства на произведение знаменателей, получим требуемое.

Из прямоугольных треугольников и получаем и .

Из подобия прямоугольных треугольников и получаем

Из этих двух соотношений на и получаем . Таким образом, , откуда , то есть треугольник равнобедренный. Поскольку же — диаметр окружности, , то есть — высота и медиана треугольника . Стало быть, . Наконец, отметим, что четырёхугольники и вписанные, откуда следует, что . Значит, , то есть треугольники и подобны. Но, как мы отметили выше, . Отсюда следует, что и, стало быть, .

Точки на биссектрисе равноудалены от сторон угла, пусть тогда и равны откуда а также Пусть тогда поскольку но тогда В силу параллельности отсюда — медиана и высота так что