Подобные треугольники и теорема Фалеса

Первое решение. Пусть точка движется линейно по прямой Покажем, что точка при этом движении линейно движется по прямой Действительно, точки лежат на одной окружности, следовательно, кроме этого

что влечет подобие треугольников и откуда заключаем равенство

следовательно, расстояние от до линейно зависит от длины отрезка

Таким образом, точки и движутся линейно, следовательно середина, соединяющего их отрезка, также движется линейно.

Осталось показать существование двух положений, при которых она лежит на прямой Такими, например, являются положения и Выполнение условия задачи очевидно в первом случае, а во втором эквивалентно утверждению о том, что точка, симметричная ортоцентру относительно одной из сторон треугольника, лежит на его описанной окружности.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть, для определённости, точка лежит на дуге не содержащей точку Обозначим через — точку пересечения высот треугольника а через — вторую точку пересечения прямых с окружностью. Поскольку точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности, то . Прямоугольный треугольник равен треугольнику а треугольник подобен треугольнику значит, треугольники и подобны. Из равенств

следует, что отрезки и являются соответствующими в подобных треугольниках и поэтому

Пусть прямая, проходящая через точку параллельно пересекает прямую в точке Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

Значит, то есть — середина а поскольку то прямая проходит через середину отрезка