Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Первое решение.

Пусть нам дан треугольник и — медианы. Продлим за точку на ту же длину, получим Продлим за точку на ту же длину, получим и — параллелограммы, следовательно, тогда и лежат на одной прямой. Заметим, что треугольник равен треугольнику Проведем в треугольнике медиану Из равенства треугольников и кроме того, следовательно, — параллелограмм. Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и Тогда из равенства треугольников и Теперь достаточно доказать, что

Рассмотрим треугольник он равен треугольнику Проведем медиану Пусть пересекается с в точке Из равенства треугольников и Тогда — параллелограмм (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Следовательно, Докажем, что — параллелограмм (тогда Ранее доказывали, что — параллелограмм, следовательно, и — медианы, следовательно, к тому же, следовательно, — параллелограмм. Тогда и — параллелограмм. Для остальных медиан — аналогично.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Проведем в треугольнике 3 медианы: пусть они пересекутся в точке Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой

Тогда иначе говоря, С другими медианами аналогично.