Применяя теорему Менелая к треугольнику $ETZ$ и секущим $AXB$ и $CY D,$ получаем

AZ- BE- XT- CE- DT- YZ- AE ⋅BT ⋅XZ = CZ ⋅DE ⋅ YT =1.

Из равенств $AZ = CE$ и $BE = DT$ следует, что $AE = CZ$ и $BT = DE.$ Подставляя все эти равенства, получаем, что

XT YZ XZ- = YT;

это означает, что точки $X$ и $Y$ симметричны относительно середины $S$ отрезка $ZT$ (см. рис.).

Из условия следует, что лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в некоторой точке $F$ под прямым углом. Тогда в прямоугольном треугольнике $XF Y$ медиана $FS$ равна половине гипотенузы $XY.$

Обозначим через $M$ и $N$ середины $AD$ и $BC$ соответственно, а через $O$ — центр окружности $(ABCD ).$ Тогда $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к $AC$ и $BD,$ которые совпадают с серединными перпендикулярами к $EZ$ и $ET$ соответственно. Значит, $O$ — также центр окружности $(ET Z),$ а $OE$ — её радиус. Поэтому нам достаточно доказать, что $OE = FS.$ Мы докажем, что $OEF S$ — параллелограмм, откуда это и следует.

Поскольку $EN$ — медиана в треугольнике $EBC,$ а $MS$ — отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырёхугольника $AZT D,$ имеем

−−→ −−→ −−→ −→ −−E→N = EB-+EC--= DT +-AZ-= −M−→S. 2 2

В прямоугольном треугольнике $FBC$ проекции вектора медианы $−N−→F$ на прямые $BF$ и $CF$ равны $−−B→F∕2$ и $−C→F ∕2$ соответственно. Поскольку $O$ и $M$ — центры окружностей $(ABCD )$ и $(ADF )$ соответственно, при проекции на те же прямые первая попадает в середины отрезков $AB$ и $CD,$ а вторая — в середины $AF$ и $DF.$ Поэтому проекции вектора

−−→ −−→ −→ −−→ −−→ OM = AM − AO =− DM − DO

на эти прямые равны

−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ AP −-AB-= BF-, DF-−DO-= CF-. 2 2 2 2

Значит, проекции векторов $−N−→F$ и $−O−→M$ на наши две прямые соответственно равны, откуда $−N−→F =−O−M→.$

Итак,

−O→S = −−O→M +−M−S→ =−N−F→+ −E−→N = −−E→F,

откуда и следует, что $OEF S$ — параллелограмм.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Есть и другие доказательства того, что $OEF S$ — параллелограмм. Например, можно использовать тот факт, что точки $O$ и $F$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ADE.$

Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна