Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

По теореме Чевы для треугольника

По теореме Менелая для треугольника и прямой

Получаем, что

По теореме Бланше симметричность и относительно высоты равносильно конкурентности чевиан то есть и пересекаются на высоте Тогда по теореме Чевы для треугольника

А по теореме Менелая для треугольника и прямой

Из этих двух равенств получаем

Подставляя данные в условии числа,

Из условия сразу получаем, что Также запишем теорему Менелая для и прямой

Откуда получаем, что Запишем теорему косинусов для

Так как угол в треугольнике менее то будет положительный, а именно:

Выразим площадь четырехугольника

Через точку проведём перпендикуляры к и основания которых обозначим и соответственно. Пусть и

Имеем:

Проведём отрезки и Поскольку подобен получаем:

Проведём отрезки и Используя теорему синусов, получаем:

Подставляя второе и третье равенства в первое, имеем:

Аналогично, обозначив получаем:

Перемножая, получаем:

Согласно обратной теореме Чевы, прямые и пересекаются в одной точке.

Прямые и пересекаются в центре вписанной окружности треугольника При этом По теореме Менелая

Следовательно, — внешняя биссектриса угла что и требовалось.

Обозначим пересечение с за

Поскольку треугольники и подобны, По теореме Менелая для и прямой

Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой пересечение и обозначим за Тогда

Тогда необходимо доказать по свойству биссектрисы. — высота в прямоугольном следовательно подобен а значит, Отметим, что

в таком случае по сумме углов треугольника и оказываются равны, значит, Итого осталось показать, а это следует из параллельности прямых и

Обозначим за пересечение и Наша цель — доказать, что выполняется условие теоремы Менелая для и точек

Заметим, что из из Тогда доказать требуется, что

А это равенство верно по теореме Менелая для и точек лежащих на прямых, содержащих его стороны и принадлежащих одной прямой.

Пусть у нашей трапеции большое основание и маленькое Заметим, что у нас биссектриса в треугольнике Значит

Но так как угол прямой, то внешняя биссектриса этого треугольника. Поэтому

где точка пересечения и а пересекает в точке Запишем теперь теорему Менелая для и секущей Получаем

Но по теореме Фалеса мы знаем, что

Теперь равенство выглядит следующим образом

Заметим, что теперь из свойств биссектрисы всё сокращается, кроме отношения которое равно Задача решена.

Пусть пересекается с в точке .

Первое решение.

Прямая, проходящая через середину отрезка параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . То есть

Прямая, проходящая через точку отрезка параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . То есть

В итоге

__________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Мы видим медиану и хочется немедленно её удвоить.

Тогда мы получаем параллелограмм и за счёт равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых с коэффициентом подобия

Из подобия мы выяснили, что

Прямая, проходящая через точку параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . В итоге

__________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

По теореме Менелая для треугольника и прямой

По теореме Менелая для треугольника и прямой

Прямая, проходящая через точку параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . В итоге

Рассмотрим картинку, соответствующую условию задачи с точностью до переобозначений:

Заметим, что треугольники с их внутренними точками образуют такое покрытие внутренности исходного треугольника, что каждая его точка принадлежит не более, чем двум из трёх кусков покрытия. Тогда по лемме о линолеуме площадь непокрытой части – – равна сумме площадей покрытых дважды областей – – тогда и только тогда, когда общая площадь покрытия – – равна площади всего треугольника которую мы обозначим неизвестной

Первое решение.

Рассмотрим треугольник двигая точку вдоль “оранжевой” прямой площадь треугольника остаётся постоянной по теореме о перетягивании площади по рельсам Евклида (пользуемся тем, что оранжевая” прямая параллельна основанию треугольника). Тогда передвинем точку в точку Аналогично поступим с точками и В итоге

Итак, сумма площадей “синих” треугольников, образованных на пересечениях треугольников и равна площади не замощённого участка треугольника (зелёного треугольника) по теореме о паркете.

Второе решение.

По теореме об отношении площадей треугольников с общей высотой Ясно, что эта сумма равна тогда и только тогда, когда

Здесь уже настало время пользоваться природой появления точек от точки Обозначим точки пересечения чевиан, пересекающихся в точке со сторонами треугольника за

Тогда по теореме Фалеса искомое соотношение эквивалентно

Это соотношение для конкурентных чевиан известно как теорема Жергонна. Доказать её можно так: площади треугольников и относятся как высоты из вершин и соответственно, потому что сторона общая, а высоты из этих вершин относятся так же, как и к по обобщённой теореме Фалеса. Проделав аналогичные рассуждения с точностью до переобозначений,

Пусть Так как — высота и биссектриса треугольника то этот треугольник равнобедренный, поэтому

Первое решение.

По теореме Менелая для треугольника и прямой

Так как и так как по свойству биссектрисы то остаётся соотношение

Тогда по теореме Пифагора для треугольника

Тогда и по формуле синуса двойного угла площадь треугольника можно выразить как

Второе решение.

По формуле для длины биссектрисы:

Из треугольника получим, что

Поделим эти уравнения друг на друга и получим, что

Тогда из основного тригонометрического тождества: Значит, из формулы синуса двойного угла Наконец,

Обозначим

Треугольники и имеют общую высоту из общей вершины следовательно, можем записать следующие соотношения для их площадей

(1)

Пусть — перпендикуляр из к прямой — перпендикуляр из к прямой Так как — биссектриса значит, точка равноудалена от прямых и Следовательно, Благодаря этому получаем

(2)

Из соотношений (1) и (2) следует, что

Аналогично получаем

Тогда

Значит, по теореме Менелая точки лежат на одной прямой. Т.е. и

По теореме косинусов найдём

Теперь найдём

Аналогично получаем и Обозначим Получим значения и из двух теорем косинусов

Запишем теорему косинусов в

Углы и равны как вертикальные. Запишем теорему косинусов в

Следовательно,

Первое решение. Пусть движется линейно по прямой тогда точка является точкой пересечения прямой которая имеет постоянное направление и проходит через и прямой которая не движется, движется линейно. Аналогично, движется линейно.

Пусть — точка на отрезке такая, что Заметим, что так же движется линейно. Осталось доказать, что в двух положениях лежит на

Рассмотрим положение Тогда тогда прямые и совпадают, откуда очевидно требуемое.

Рассмотрим положение Тогда и следовательно точка на медиане такая, что то есть является центром тяжести исходного треугольника, а значит лежит на медиане что завершает доказательство.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть — пересечение и По теореме Менелая для и точек лежащих на прямых, содержащих его стороны и принадлежащих одной прямой

следовательно Обозначим и точки пересечения прямых из параллельных и с Понятно, что и являются средними линиями треугольников и соответственно, а значит, По теореме Фалеса для троек параллельных прямых и

Итак,

из чего следует требуемое.

Наша цель — доказать, что для треугольника и точек на его сторонах выполнена теорема Менелая

Начнём считать в синусах.

Для треугольника

Для треугольника

Наконец, отношение имеет вид

Выражая аналогично все отношения искомого произведения, получим, что достаточно доказать справделивость равенства

А ведь по синусной теоремы Чевы для треугольника и чевиан выполнено соотношение

Тем самым, осталось доказать, что выполнено соотношение

Заметим, что откуда следует равенство Аналогично заключаем равенства и Таким образом, произведение числителей равно произведению знаменателей.

Пусть (пересечение будет за точкой в силу данных нам отношений). Запишем теорему Менелая для и прямой

Запишем теорему Менелая для и прямой

Но тогда — высота и медиана в откуда она будет и биссектрисой.

Пусть — середина Запишем теорему Менелая для и прямой

Пусть и (аналогично первой задаче пересечение будет с этой стороны), теорема Менелая для и прямой

Теорема Менелая для и прямой

Теорема Менелая для и прямой

Прямая не параллельна так как Продолжим ее до пересечения с прямой в точке

Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

откуда находим, что Пусть тогда Следовательно,

Запишем теперь теорему Менелая для треугольника и секущей

откуда и находим, что

Продлим за точку на пусть Теорема Менелая для и

Здесь мы, не умаляя общности, считаем Теперь теорема Менелая и

Отсюда — медиана равнобедренного треугольника и она же будет биссектрисой.