Тема . Счётная планиметрия

Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела счётная планиметрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#136489

Теорема Чевы. На сторонах AB, BC  и CA  треугольника ABC  взяты соответственно точки C ,A ,B
  1 1  1  соответственно. Докажите, что отрезки AA1,BB1  и CC1  пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

AB1  CA1  BC1
B1C-⋅A1B-⋅C1A-= 1.
Показать доказательство

Обозначим точку пересечения чевиан через X.  Покажем, что AB1-= SAXB.
B1C   SCXB  Площади треугольников с общей высотой относятся как основания, на которые она опущена. Используя этот факт, имеем

       BX
SAXB-  XB1-⋅SAXB1-  SAXB1-  AB1-
SCXB = BX--       = SCXB1 = CB1.
       XB1 ⋅SCXB1

Аналогично,

CA1   SCXA    BC1   SBXC
A1B-= SBXA-,  C1A-= SAXC.

PIC

Осталось заметить, что

AB1-CA1- BC1-  SAXB- SCXA- SCXB-
B1C ⋅A1B ⋅C1A = SCXB ⋅SAXB ⋅ SCXA =1.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!