Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы 
внешних углов треугольника 
пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в
точках 
соответственно. Найдите угол 
и длину отрезка 
если 
а угол 
равен
Источники:
Подсказка 1
Мы знаем, что биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. Попробуйте провести аналогичное доказательство к тому, что эти три точки на самом деле лежат на одной прямой)
Подсказка 2
Для этого попробуйте также записать всякие отношения и теорему Менелая!
Подсказка 3
Мы поняли, что эти три точки на одной прямой, а значит искомый угол = 180 градусов. Теперь давайте перейдем к отрезку A₁B₁. Для начала можно поискать все что можно в треугольнике ABC, например, недостающую третью сторону)
Подсказка 4
Да, это можно сделать с помощью теоремы косинусов! А теперь попробуйте опять же записать множество отношений и некоторые отрезки представить в виде суммы отрезков. С этой технической работой можно дойти до нужного отрезка!
Обозначим 
Треугольники 
и 
имеют общую высоту из общей вершины 
следовательно, можем записать следующие соотношения
для их площадей
| (1) |
Пусть 
— перпендикуляр из 
к прямой 
— перпендикуляр из 
к прямой 
Так как 
—
биссектриса 
значит, точка 
равноудалена от прямых 
и 
Следовательно, 
Благодаря этому
получаем
| (2) |
Из соотношений (1) и (2) следует, что
Аналогично получаем
Тогда
Значит, по теореме Менелая точки 
лежат на одной прямой. Т.е.
и 
По теореме косинусов найдём 
Теперь найдём 
Аналогично получаем 
и 
Обозначим 
Получим значения 
и 
из двух теорем
косинусов
Запишем теорему косинусов в 
Углы 
и 
равны как вертикальные. Запишем теорему косинусов в 
Следовательно,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
