Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Обозначим

Треугольники и имеют общую высоту из общей вершины следовательно, можем записать следующие соотношения для их площадей

(1)

Пусть — перпендикуляр из к прямой — перпендикуляр из к прямой Так как — биссектриса значит, точка равноудалена от прямых и Следовательно, Благодаря этому получаем

(2)

Из соотношений (1) и (2) следует, что

Аналогично получаем

Тогда

Значит, по теореме Менелая точки лежат на одной прямой. Т.е. и

По теореме косинусов найдём

Теперь найдём

Аналогично получаем и Обозначим Получим значения и из двух теорем косинусов

Запишем теорему косинусов в

Углы и равны как вертикальные. Запишем теорему косинусов в

Следовательно,