Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна

Углы равны как внешний угол вписанного четырехугольника и противоположный угол вписанного четырехугольника. Углы равны как углы при высотах треугольника Поскольку Аналогично Пусть  – точка пересечения прямой и перпендикуляра к из точки Тогда и из подобия треугольников и По теореме Менелая для треугольника и точек лежащих на одной прямой по условию:

Рассмотрим треугольник Точки лежат на продолжениях его сторон. Чтобы показать, что три точки лежат на одной прямой, по теореме Менелая достаточно проверить, что Из подобия треугольников и следует что и и утверждение следует из уравнения выше.

Пусть середина Докажем, что прямая перпендикулярна Для этого, по теореме Пифагора, достаточно показать, что = Из прямоугольных треугольников

По теореме Пифагора, при рассмотрении прямоугольных треугольников где  – основание высоты из на

Последнее равенство – из подобия треугольников Аналогично,
значит