Теоремы Менелая и Чевы, Ван-Обеля и Жергонна
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
– середины сторон 
треугольника 
соответственно.
(a) Окружности, вписанные в треугольники 
касаются отрезков 
в точках 
соответственно. Докажите, что прямые 
пересекаются в одной точке.
(b) Окружность, вписанная в треугольник 
касается отрезков 
в точках 
соответственно.
Докажите, что прямые 
пересекаются в одной точке.
(a) Ясно, что треугольники 
и 
подобны друг другу. Пусть точки 
– точки касания
вписанной в 
окружности и 
соответственно. Тогда из подобий:
Пусть точки 
– точки пересечения сторон 
прямыми 
соответственно. 
так как пары
треугольников 
и 
подобны, причем с одинаковым коэффициентом. Аналогично 
и 
Для того, чтобы показать что прямые 
пересекаются в одной точке, осталось проверить соотношение из теоремы Менелая
для треугольника 
Осталось лишь заметить, что 
как отрезки касательных к одной и той же окружности. Аналогично 
(b) Отметим, что 
из подобий треугольников 
и 
Аналогично, 
и 
Определим точки 
как точки пересечения 
и 
соответственно. Для того, чтобы показать что прямые
пересекаются в одной точке, осталось проверить соотношение из теоремы Менелая для треугольника 
Из подобий
при параллельных прямых аналогично предыдущему пункту получаем, что 
И
наконец
что равно 
согласно предыдущему пункту.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
