Тема . Треугольники и их элементы

Лемма 255

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела треугольники и их элементы
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63744

В треугольнике ABC  точки A ,B ,C
 0  0 0  — середины сторон BC,CA,AB,  а A
 1  , B ,C
  1 1  — точки касания этих сторон со вписанной окружностью соответственно. Прямые A1C1,B1C1  пересекают A0B0  в точках X  и Y.  Докажите, что прямая CC1  делит отрезок   XY  пополам.

Источники: ОММО - 2023, задача 8 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Один отрезок делит другой пополам, часто это происходит потому что они являются диагоналями некоторого параллелограмма.

Подсказка 2

В данном случае окажется, CXC1Y - параллелограмм, но нужно как-то подобраться к точкам X и Y...

Подсказка 3

В этом нам поможет лемма 255, согласно ней точки X и Y лежат на биссектрисах углов A и B соответственно.

Показать доказательство

Докажем, что точки X,Y  лежат на биссектрисах углов A,B  соответственно (это утверждение известно как задача 255  и может быть использовано на олимпиаде без доказательства). Так как AB1 = AC1  и B0Y ∥AC1,  то             |AB−BC-|
B0Y =B0B1 =   2   ,  следовательно, A0Y = A0B  и ∠YBA0 = ∠BY A0 = ∠YBA.  Аналогично ∠XAC  =∠XAB.

PIC

Итак, AX ⊥ XC  по лемме 255  и AX ⊥ B1C1,  потому что треугольник AB1C1  равнобедренный и AX  в нём биссектриса, проведённая к основанию. Следовательно, XC  ∥C1Y.  Аналогично CY ∥ C1X.  Таким образом, четырёхугольник XCY C1  — параллелограмм. В таком случае его диагонали точкой пересечения делятся пополам, это даёт нам требуемое.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!