Тема Классические неравенства

Правильная замена и преобразование выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#90112Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению $ab+ bc+ ca= 1.$ Докажите, что

∘----1 ∘---1 ∘ ---1 √ - √ - √ - a + a + b+ b + c+ c ≥ 2( a+ b+ c)

Источники: Всеросс., 2015, РЭ, 10.4(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Есть условие ab + bc + ca = 1. Оно довольно непростое, подумайте, что с ним можно сделать.

Подсказка 2:

Его нужно куда-то подставить вместо 1. Но как понять куда, ведь единицу можно найти везде, даже a = a*1.

Подсказка 3:

Подставьте вместо числителя в дробях 1/a, 1/b, 1/c. Что теперь там хорошего получается? Теперь можно уже и вспомнить классические неравенства, попробовать применить их.

Показать доказательство

Заметим, что

∘---1- ∘---ab+-bc-+ac ∘ ---bc------ ∘-√------- ∘-√---√--- a+ a = a+ ----a----= a+ a-+b+ c≥ 2 bc+ b+ c= ( b+ c)2

√ - = b+√c

Если аналогично оценить три других корня и сложить три полученных неравенства, мы получим требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#106535Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее значение выражения $a +b+ c+ d− ab− bc− cd− da,$ если каждое из чисел $a,b,c$ и $d$ принадлежит отрезку $[0,1].$

Источники: Окружная олимпиада (Москва) - 2013, 10.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Трудно оценивать выражение, когда оно такое длинное... Особенно непонятно, что делать с суммой попарных произведений. Давайте попробуем её как-нибудь упростить, разбить на скобочки!

Подсказка 2

Несложно заметить, что ab+bc+cd+da = (a+c)(b+d). Запишем это в исходное выражение и сделаем следующую замену: пусть x=a+c; y=b+d. Тогда наше выражение имеет вид x+y-xy. Что нам напоминает эта запись? Как разложить её на множители?

Подсказка 3

Правильно, x+y-xy = (x-1)(y-1)+1. Такое разбиение на скобки часто используется в задачах, его стоит запомнить! Получившиеся скобочки мы можем оценить из условия на то, что каждое из чисел принадлежит отрезку от нуля до единицы. Когда найдёте максимальное значение, не забудьте проверить, что оно достигается:)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что

a +b+ c+d − ab− bc− cd− da= (a+ c)+(b+ d)− (a+ c)(b+d)

Пусть $a+c =x,b+ d= y,0≤ x≤ 2$ и $0≤ y ≤ 2$ .

x+ y− xy = (x − 1)(1− y)+1, где |x− 1|≤ 1 и |1− y|≤1

Следовательно,

(x− 1)(1− y)≤ 1, а x +y− xy ≤ 2.

Значение 2 достигается, например, если $a= c= 1,b= d= 0$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Зафиксируем значения переменных $b,c$ и $d$ и рассмотрим функцию

f(a)= (1− b− d)a+ b+c+ d− bc− cd,

где $0 ≤a ≤1$ . В силу монотонности, её наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка $[0;1],$ то есть равно или $b+ c+ d− bc− cd$ или $1+ c− bc− cd$ .

Рассматривая эти выражения как функции от $c$ , аналогично получаем, что их максимальные значения: $b+d$ или $1, 1$ или $2− b− d$ . Так как $0≤ b+d ≤2$ , то наибольшее значение данного выражения равно 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#96366Максимум баллов за задание: 7

Ненулевые числа $a,$ $b,$ $c$ таковы, что $ax2+ bx +c> cx$ при любом $x.$ Докажите, что $cx2− bx+ a> cx − b$ при любом $x.$

Источники: Всеросс., 2010, ЗЭ, 10.5(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите на выражения в неравенствах как на квадратные трëхчлены относительно x.

Подсказка 2

Осталось вспомнить, в каких случаях квадратный трëхчлен может целиком лежать выше оси абсцисс.

Показать доказательство

Если квадратный трёхчлен $ax2+ (b− c)x+ c> 0$ при всех $x,$ то это значит, что его дискриминант $(b− c)2− 4ac< 0.$ Ещё мы можем понять, что $c >0,$ подставив $x =0.$ Нас же просят доказать, что дискриминант трёхчлена $2 (b+ c) − 4c(a+ b)$ также меньше $0.$ Если заметить, что $2 2 (b+c) − 4bc= (b− c),$ то становится ясно, что второе неравенство идентично первому. Тогда получаем, что у графика трёхчлена ветви направлены вверх и его дискриминант отрицательный. Значит, неравенство верно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#75855Максимум баллов за задание: 7

Даны положительные числа $a,b,c$ такие, что

1 1 1 a +b+ c= a + b + c

Докажите неравенство

1 1 1 3 (2a+-b+c)2 + (2b+-a+-c)2-+(2c+a-+b)2 ≤ 16

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самой сложной частью доказательства задач подобного вида, как правило, является поиск правильного подхода к дробям. Одно из самых естественных действий — приведение дробей к общему знаменателю, но делать это для исходного выражения довольно сложно, а с полученным видом выражения будет сложно работать. Чтобы привести дроби к общему знаменателю необходимо оценить исходное неравенство суммой дробей, знаменатели которых имели бы попарные общие множители. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Работать с квадратами сложно, а избавиться от них можно, если применить неравенство между средним арифметическим и геометрическим для двух чисел (тогда корень из произведения двух исходных чисел будет возведен в квадрат). Как же все таки привести исходные дроби к новому виду, чтобы их знаменатели имели попарные общие множители?

Подсказка 3

Каждую из дробей можно оценить как 1/(2a+b+c)^2 ≤ 1/{4(a+b)(a+c)} - квадраты ушли, у знаменателей новых дробей появились общие знаменатели. Это было необходимо для приведения полученных дробей к общему знаменателю. Сделайте это

Подсказка 4

Таким образом, исходную сумму мы оценили сверху как (a+b+c)/(2(a+b)(b+c)(c+a)). Сумма всех переменных чисел в числителе это хорошо, поскольку нам дано условие на нее, а вот с произведением попарных сумм работать куда сложнее. Как можно оценить его через сумму данных чисел?

Подсказка 5

Докажите неравенство 9(a+b)(b+c)(c+a)≥8(a+b+c)(ab+bc+ca). Таким образом, исходное выражение можно оценить как 9/{2*8(ab+bc+ca)}. Какую оценку необходимо доказать для числа ab+bc+ca, чтобы завершить доказательство неравенства?

Подсказка 6

Достаточно доказать, что это число не меньше 3. Мы еще не воспользовались условием a+b+c=1/a+1/b+1/c. Что оно значит для суммы попарных произведений?

Подсказка 7

Что ab+bc+ca=abc(a+b+c). Как это помогает в доказательстве неравенства?

Подсказка 8

Теперь достаточно проверить, что (ab+bc+ca)^2 ≥ 3abc(a+b+c) — это же неравенство верно для произвольных чисел. Докажите данное неравенство и тем самым завершите доказательство.

Показать доказательство

Пусть $x,y,z$ — положительные действительные числа, тогда по неравенству между средним арифметическим и геометрическим верно, что

∘---------- 2x +y+ z = (x+ y)+ (x+ z)≥ 2 (x+ y)(x+ z)

мы имеем

----1----- -----1----- (2x+y +z)2 ≤ 4(x +y)(x+z)

Применив полученное неравенство для каждого слагаемое в левой части, мы получим

----1----- ----1----- ----1----- -----1----- -----1----- -----1----- (b+c)+-(c+-a)+(a+-b) ----a+-b+-c----- (2a +b+ c)2+ (2b+ c+ a)2+ (2c+ a+b)2 ≤ 4(a+b)(a +c)+4(b+c)(b+ a)+4(c+a)(c+ b) = 4(a+ b)(b+ c)(c +a) = 2(a +b)(b+ c)(c+a)

Кроме этого по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим верно, что

a2b+a2c+ b2a+ b2c+c2a+ c2b≥ 6abc

или, эквивалентное ему,

9(a +b)(b+ c)(c+a)≥ 8(a +b+ c)(ab+bc+ ca)

Условие $1a + 1b + 1c = a+ b+c$ можно переписать в виде

ab+ bc+ca= abc(a+ b+c)

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим верно, что $2 2 22 2 xy + x z ≥2x yz.$ Следовательно,

a2b2+b2c2+c2a2 ≥ a2bc+ ab2c+ abc2

что эквивалентно

2 (ab+ bc+ca) ≥ 3abc(a+ b+ c)

Совмещая полученные неравенства, мы можем завершить доказательство:

-----a+-b+c----- (a+b+-c)(ab+-bc+-ca) ab+-bc+ca- -abc(a-+b+-c) -9- 1 3- 2(a+ b)(b+c)(c+ a) = 2(a +b)(b+ c)(c+ a) ⋅abc(a+ b+c) ⋅(ab+bc+ ca)2 ≤ 2⋅8 ⋅1 ⋅3 = 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#96367Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $n> 1$ такие, что для любого набора действительных чисел $x , 1$ $x , 2$ …, $x n$ выполнено неравенство

2 2 2 x1+ x2 +...+ xn ≥ xn(x1 +x2+ ...+ xn−1)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть выражение как квадратный трëхчлен относительно какой-то переменной. Притом авторы задачи как будто бы намекают, относительно какой.

Подсказка 2

Вероятно, вы поняли, что нужно работать с дискриминантом. Но по-прежнему непонятно, как найти нужные n. Попробуйте поподставлять какие-то простые наборы значений для x_i и посмотрите, чему равен дискриминант.

Показать ответ и решение

Перенесём всё влево и рассмотрим выражение слева как квадратный трёхчлен относительно $x . n$ Из неравенства следует, что его дискриминант всегда неположителен:

2 2 2 2 (x1+x2+ ...+ xn−1)− 4(x1 +x2+ ...+ xn− 1)≤ 0

Заметим, что если взять все $x i$ по $1,$ то при $n≥ 6$ дискриминант примет положительные значения. Значит, $n ≤5.$

При $n =5$ имеем:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x1+x2+ x3+ x4) − 4(x1+ x2+ x3 +x4)= 2(x1x2+ ...+x3x4)− 3(x1+ x2 +x3+ x4)=

2 2 2 2 2 2 = −(x1− x2) − (x1− x3)− (x1− x4) − (x2− x3)− (x2 − x4) − (x3− x4) ≤ 0

При $n =4$ неравенство сведётся к $2(x1x2 +x1x3+ x2x3)≤ 3(x21+ x22+ x23).$ Оно следует из неравенства

x x +x x + xx ≤ x2+ x2+x2 12 1 3 2 3 1 2 3

При $n =3$ имеем:

(x1+ x2)2 − 4(x21+x22)= 2x1x2− 3x21− 3x22 = −(x1− x2)2− x21− x22 ≤0

При $n =2$ дискриминант равен $x21 − 4x21 = −3x21 ≤ 0.$

Ответ:

$n =2,3,4,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#74721Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых вещественных чисел $a$ и $b$

2 2 a + ab+ b ≥ 3(a+ b− 1)

Источники: Всеросс., 1993, РЭ, 9.1(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что наше неравенство выглядит не очень красивым. Поэтому классическими неравенствами будет пользоваться тяжеловато. Но, если посмотреть на это неравенство при фиксированном b, оно не такое уж страшное...

Подсказка 2

Давайте перенесем все в левую часть и рассмотрим получившееся выражение как квадратное, относительно a. Это будет парабола с ветвями вверх. При каком условии она будет принимать неотрицательные значения?

Подсказка 3

Верно, если дискриминант будет не больше 0! Посчитайте его и убедитесь, что это действительно так!

Показать доказательство

Перенесём всё влево и рассмотрим получившееся выражение как квадратный трёхчлен относительно $a$ :

2 2 a +(b− 3)a+ b − 3b+ 3≥ 0

Его дискриминант равен $− 3(b− 1)2$ , то есть он неположительный, а старший член положительный, значит этот трёхчлен принимает только неотрицательные значения.