Тема . Классические неравенства

Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#111641

Даны вещественные числа $a,b,c,d$ такие, что $a≥ b≥c≥ d> 0$ и $a+ b+c +d= 1.$ Докажите, что

ab cd (a+ 2b+3c+ 4d)a bc d <1.

Показать доказательство

Применим взвешенное неравенство о средних с весами $a,b,c,d:$

ab cd 2 2 2 2 ab cd ≤ a⋅a+ b⋅b+c ⋅c+ d⋅d= a + b+ c + d

Таким образом, достаточно доказать, что

(a+ 2b+3c+ 4d)(a2 +b2+ c2 +d2)< 1= (a+ b+ c+d)3

Раскроем куб суммы:

(a+ b+ c+d)3 > a2(a+ 3b+3c+ 3d)+ b2(3a+ b+ 3c+ 3d)+c2(3a+ 3b+ c+3d)

+d2(3a+ 3b+ 3c+ d)= (a2+ b2+c2+ d2)⋅10(a+b+ c+ d)=10(a2 +b2+ c2 +d2)≥

(a2+ b2+ c2+ d2)⋅(a+ 2b+3c+ 4d)

Следовательно, исходное неравенство выполнено.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse