Тема Классические неравенства

Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107137

Для положительных чисел $a,b,c,d$ докажите неравенство

(ab+-cd)(ad+-bc) √---- (a+ c)(b+ d) ≥ abcd

Показать доказательство

Сделаем замену $x= ab,y = cd,z =ad,t=bc.$ Тогда у нас есть условие $xy = zt= k,$ и мы хотим доказать, что

(x+-y)(z+-t) √ - x+ y+z +t ≥ k

Будем считать, что $x+y ≥z +t.$ Тогда по неравенству о средних верно:

√ -- (x+-y)(z+-t)≥ 2(x+-y)⋅--zt ≥√zt- x +y+ z+ t x+y +z +t

Что и требовалось.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#107139

Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ удовлетворяют условию $2(a +b+ c+ d) ≥abcd.$ Докажите, что $a2+ b2+ c2+ d2 ≥abcd.$

Показать доказательство

Первое решение.

Первый случай. Если $abcd≥ 16.$ Тогда по неравенству между средним квадратичным и арифметическим верно:

( a+ b+c+ d)2 ( abcd)2 a2+ b2+ c2+ d2 ≥4 ----4----- ≥ 4 -8-- ≥ abcd

Второй случай. Если $abcd <16.$ Тогда по неравенству о средних:

a2+ b2+c2+ d2 ≥4√abcd> √a2b2c2d2 = abcd

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Знаем, что

√ ---- a+ b+ c+d ≥4 4abcd

и, например, по КБШ

(a+ b+c+ d)2 a2 +b2+ c2 +d2 ≥-----4------

А тогда правую часть можно оценить с помощью условия и первого неравенства, как:

( ) 2 (a+-b+c+-d)2-= (a+ b+ c+d)23 ⋅(a+ b+c +d)43 ⋅ 1 ≥ 1⋅ 1abcd 3 ⋅(4√4abcd)43 = abcd 4 4 4 2

Что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119335

Положительные числа $a$ и $b$ таковы, что $a+ b+ c= 1.$ Докажите неравенство

--1-- --1-- --1-- 27 1 − a2 + 1 − b2 + 1− c2 ≥ 8

Показать доказательство

По неравенству о среднем гармоническом и среднем арифметическом достаточно показать, что

2 2 2 8 (1− a )+ (1− b)+ (1− c )≤3

Это равносильно тому, что $2 2 2 1 a + b +c ≥ 3.$ Из неравенства КБШ легко получить $2 2 2 2 3(a + b +c )≥ (a+ b+ c) = 1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74902

Докажите, что для положительных $a$ и $b$ имеет место неравенство

√ - √3- 5√-- 2 a+3 b≥ 5 ab

Показать доказательство

Применим неравенство о средних для пяти чисел (они положительные):

√- 3√- √- √ - 3√- 3√- 3√- 5√ -- 2 a+ 3 b= a + a+ b+ b+ b ≥5 ab

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79855

Произведение положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ равно единице. Докажите, что $(1 +2a )⋅(1+ 2a)⋅...⋅(1+ 2a )≥ 3n. 1 2 n$

Показать доказательство

Оценим каждую скобку по неравенству о средних: $1 +2a = 1+a + a ≥3∘3a2-. i i i i$ Перемножим все такие неравенства для каждой скобки и получим:

n 3∘------------ n (1+ 2a1)⋅(1+2a2)⋅...⋅(1 +2an)≥ 3 (a1a2⋅...⋅an)2 = 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85924

Положительные числа $x,y,z$ таковы, что $x2+y2+ z2 = 3.$ Докажите, что

-1--- -1--- -1--- 3 xy +z + yz +x + zx +y ≥ 2

Показать доказательство

Заметим, что по неравенству о средних

--1-- -----1----- -----2------ 1 xy+ z ≥ x2+y2+ z2+1-= x2+ y2 +z2+ 1 = 2 2 2

Оценив по такому принципу каждую из трех дробей, получаем требуемое неравенство.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85991

Положительные числа $a,b,c,d$ таковы, что $abcd= 1$ и $a+ b+c +d> a + b+ c+ d. b c d a$ Докажите, что

b c d a a +b+ c+ d< a + b + c + d

Показать доказательство

Докажем, что

( a b c d) (b c d a) 4(a +b+ c+ d)≤ 3 b + c + d + a + a + b + c + d

откуда будет следовать неравенство из условия. Заметим, что

∘ ---- ∘ --- ∘---- a + a + b+ a≥ 44 a3b-=4 4a3-= 44 a4-= 44√a4-=4a b b c d b2cd bcd abcd

Сложив 4 аналогичных неравенства со сдвинутыми по циклу переменными, получим требумое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85992

Для положительных $a,b,c$ докажите неравенство

√a2+-2− 1 √b2+2-− 1 √c2-+2− 1 3√2- ----b----+ ---c-----+----a---- ≥-2-

Показать доказательство

По неравенству между средним арифметическим и средним квадратическим имеем $√-2--- a+-√2 a-- a + 2≥ √2 = √2 +1.$ Аналогчино оценив все дроби, получим

√-2--- √-2--- √-2--- -a-+-2−-1+ -b-+-2−-1+ -c-+-2− 1-≥ √a-+ √b-+ √c-≥ √3- b c a 2b 2c 2a 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90781

Докажите, что для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ выполняется

------n------- √n-------- 1a-+ 1a-+ ⋅⋅⋅+ 1a-≤ a1a2...an 1 2 n

Показать доказательство

Давайте напишем неравенство между средним геометрическим и арифметическим для чисел $1,-1,..., 1-: a1 a2 an$

1 1-+ 1-+...+-1 n√a-a-...a--≤-a1---a2-n----an 1 2 n

Нетрудно видеть, что это неравенство сводится требуемому.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90782

Докажите, что для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ выполняется

∘-2---2-------2 a1+-a2+-⋅⋅⋅+-an ≤ a1-+a2+-⋅⋅⋅+-an n n

Показать доказательство

Если возвести неравенство в квадрат, поделить на $n$ и привести подобные, то мы получим неравенство

2 2 2(a1a2+ ...+ an−1an)≤ (n− 1)(a1+...+an)

где в левой части в скобке находятся все попарные произведения чисел $ai.$

Теперь заметим, что если сложить все неравенства вида $2a a ≤a2+ a2 i j i j$ при $1≤ i<j ≤ n,$ то мы получим последнее неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90783

Для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ докажите неравенство

( 1- 1- 1-) 2 (a1 +a2+ ...+ an) a1 + a2 + ...+ an ≥n

Показать доказательство

Если поделить неравенство на $n ( 1-+ 1-+...+ 1-), a1 a2 an$ то оно сведётся к неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90784

Сумма положительных чисел $a,b,c,d$ равна $1.$ Докажите, что

√----- √ ----- √----- √----- √ - 1+ 4a + 1+4b+ 1+ 4c+ 1+ 4d≤4 2

Показать доказательство

Применим неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим:

√ ----- √----- √----- √ ----- 1+4a+ 1 +4b+ 1+ 4c+ 1+4d ≤

∘ (√1+-4a)2+-(√1+-4b)2+-(√1-+4c)2+(√1+-4d)2- ≤4 ------------------4-------------------=

∘ --------------- =4 4+-4(a+-b+-c+d) =4√2 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90785

Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство $a6-+b9≥ 3a2b3− 16. 4$

Показать доказательство

Домножим неравенство на $4$ и перепишем в виде

6 9 23 a +b + 64≥12a b

Осталось заметить, что это неравенство между средним арифметическим и геометрическим чисел $a6,b9,64.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90786

Найдите минимум выражения $a6-+b3+-c2- abc$ при положительных $a,b$ и $c.$

Показать ответ и решение

Попробуем с помощью неравенства о средних превратить числитель в $kabc,$ где $k$ — некоторое число. Проведём следующие преобразования:

6 b3 c2 6∘ 6-b32-c23- a6+-b3+-c2= a-+-2⋅2-+-3⋅3-≥ 6--a(2-)(3-)-= 6√432- abc abc abc

Эта оценка реализуется при $a6 = b3= c2. 2 3$ Отсюда нетрудно придумать пример, надо лишь взять любое положительное $a$ и из равенств вычислить $b$ и $c.$

Ответ:

$√6432-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91161

Сумма положительных чисел $a,b$ и $c$ равна $3.$ Докажите неравенство

-1-- -1-- -1-- 3 a+ 1 + b+ 1 + c+ 1 ≥ 2

Показать доказательство

Запишем неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим чисел $a+ 1,b+ 1,c+ 1.$ Получим

------3------ a+-1+b+-1+-c+-1 a1+1 + b+11-+ 1c+1-≤ 3

Используя условие $a+ b+ c= 3$ получаем, что в правой части неравенства дробь с числителем $6.$ Из этого следует необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#91162

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство:

2 2 2 2 2 2 22 2 (a b+ bc+ ca)(ab + bc + ca)≥ 9ab c

Показать доказательство

По неравенству между среднем арифметическим и геометрическим для троек чисел $a2b,b2c,c2a$ и $ab2,bc2,ca2$ каждая из скобок больше либо равна $3abc,$ из чего следует необходимое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91163

Докажите, что для любых положительных чисел $x,y$ и $z$ выполнено неравенство

x3+y3- y3-+z3- z3+-x3 x2+y2 + y2 +z2 + z2+ x2 ≥ x+ y+ z

Показать доказательство

Известно, что

3 3 2 2 x + y = (x+ y)(x − xy+ y)

По неравенству о средних $x2+ y2 ≥ 2xy,$ значит

3 3 ( x2+y2) x +y ≥ (x+ y)⋅ 2

Таким образом первая дробь из условия больше либо равна $x+ y -2--.$ Сложив эту и две аналогичные оценки двух других дробей, получим необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#91164

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство

a b c 1(∘ b- ∘ c- ∘ a) a+-b + b+-c + c+a-≥ 3− 2 a + b + c

Показать доказательство

Левую часть перепишем в виде

--b- --c- -a-- 1 −a +b +1− b+ c + 1− c+a

Тогда осталось доказать, что

(∘ -- ∘ -- ∘--) 1 b+ c+ a ≥ --b-+ --c-+ -a-- 2 a b c a+ b b+ c c+ a

Оценив знаменатели дробей в правой части по неравенству о средних, получаем искомое (ведь знаменатели при оценке не увеличиваются, соответственно сами дроби не уменьшаются). Так для первой дроби:

b b 1∘-b a-+b ≤2√ab-= 2 a

Аналогично с остальными.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#91165

Для положительных чисел $a,b,c$ и $d$ докажите неравенство

( a b) ( b c) (c d) (d a) (a+c)(b+-d) b + a + c + b + d + c + a + d ≥ 2 √abcd-

Показать доказательство

Перегруппируем слагаемые в левой части и сложим те, что с одинаковыми знаменателями, теперь доказать требуется:

a-+c a-+c b+-d b+-d (a+-c)(b-+d) b + d + a + c ≥ 2 √abcd-

Итак, левая часть переписывается как

(a +c)(1 + 1)+(b+ d)(1+ 1)= (a+-c)(b+d) + (a+-c)(b+d) b d a c bd ac

Применив неравенство о средних для двух получившихся дробей получаем необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#91166

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $a+ b+ c= 3.$ Докажите неравенство

--a3--- --b3--- --c3--- b(2c+ a) + c(2a+ b) + a(2b+ c) ≥1

Показать доказательство

Первое решение.

Добавим к первой дроби $b 2c+a- 3 + 9 ,$ ко второй — $c 2a+b- 3 + 9 ,$ к третей — $a 2b+c- 3 + 9 .$ Таким образом мы к левой части добавили $2,$ то есть доказать теперь требуется

a3 b 2c+ a b3 c 2a+ b c3 a 2b+c b(2c+-a) + 3 +-9--+ c(2a+-b) + 3 +-9--+ a(2b+-c)-+3 + -9---≥3

Тогда для сумм троек слагаемых по неравенству между средним арифметическим и геометрическим каждая больше соответсвенной переменной:

3 --a----+ b+ 2c+a-≥a b(2c+ a) 3 9

Тогда вся сумма больше либо равна

a+ b+c =3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В силу неравенства Гельдера имеем

( ) a3-+ b3-+ c3- (x +y+ z)(1 +1+ 1)≥ (a+ b+ c)3 x y z

Тогда имеем

a3 b3 c3 (a+-b+-c)3 x + y + z ≥ 3(x+ y+z)

В силу полученного неравентсва

3 3 3 3 --a----+ --b----+ --c----≥--(a+-b+-c)-- b(2c+ a) c(2a+ b) a(2b+c) 9(ab+ac+ bc)

Тогда достаточно показать, что

(a+ b+c)3 ≥ 9(ab+ ac+ bc) ⇔ (a+ b+ c)3 ≥ 3(a +b+ c)(ab+ac+ bc)⇔ a3 +b3+ c3 ≥3abc,

что верно по неравенству о средних.