Неравенство о средних

Подсказка 1:

Попробуйте поработать с равенство из условия и, например, записать его немного в другом виде.

Подсказка 2:

Попробуйте домножить его на 3 таких числа, чтобы скобки стали выглядеть иначе, а правая часть никак не изменилась.

Подсказка 3:

Домножьте на b / a, c / b, a / c. Посмотрите, какой вид примут скобки и как дальше с этим работать.

Подсказка 4:

Оно примет вид (b – 1 / a)(c – 1 / b)(a – 1 / c) = 1. Как насчёт того, чтобы рассмотреть сумму квадратов выражений в скобках? Что про него можно сказать.

Подсказка 5:

Во-первых, по неравенству о средних оно не меньше 3. Во-вторых, если раскрыть в этом неравенстве скобки, оно станет очень походить на требуемое.

Подсказка 1:

Какую оценку снизу можно сделать для дроби?

Подсказка 2:

Например, оценить снизу числитель, тогда и дробь будет оценена снизу. Но в нашем случае числители и так простейшие. А у какой дроби оценка знаменателя снизу приведёт к оценке снизу всей дроби?

Подсказка 3:

У положительной дроби, перед которой стоит знак минус. Представьте все дроби левой части в виде разности.

Подсказка 4:

a / (b⁴ + 2b) = a / b – 2ab² / (b³ + 2). Как теперь выгоднее всего оценить знаменатель?

Подсказка 5:

Оцените его с помощью неравенства о средних для среднего арифметического и геометрического для трёх слагаемых.

Подсказка 6:

Если все верно сделали, должны получить для первой дроби оценку на a / b – 2ab / 3. Теперь осталось оценить выражение a / b + b / c + c / a снизу и 3(ab + bc + ca) сверху. С первым всё совсем просто, а второе с помощью неравенств о средних попробуйте оценить выражением, в котором a, b, c встречаются только в виде суммы a + b + c.

Подсказка 1

Хм, первое уравнение слишком сложное, чтобы его можно было решить честно. Попробуем как-то перегруппировать слагаемые в левой части.

Подсказка 2

Полученные три пары слагаемых чем-то напоминают выражение x + 1/x, которое, как известно, не меньше двух...

Подсказка 3

Воспользуемся неравенством о средних. Значит, левая часть не меньше правой при любых x, y, z из ОДЗ. Но нам нужно равенство.

Подсказка 4

Вспомним, когда выполняется равенство в неравенстве о средних. Теперь осталось решить второе неравенство, применяя знания из первого уравнения.

Подсказка 1

Давайте попробуем уменьшить количество слагаемых, поскладывая некоторые из них.

Подсказка 2

Заметим, что если добавить a/a, b/b, c/c, то в левой части равенства соберётся что-то интересное.

Подсказка 3

Нам будет полезно выразить сумму обратных величин через что-то ещё.

Подсказка 4

Теперь давайте подумаем, как нам получить три дроби из левой части целевого неравенства. Возможно, если поделить почленно, то появится что-то интересное.

Подсказка 5

Да, там появилась сумма обратных величин и сумма величин. Давайте приведём левую сторону нашего равенства к такому виду.

Подсказка 6

Так, левая часть готова, давайте перегруппируем слагаемые правой части равенства, сделав их симметричными, и оценим их.

Подсказка 7

Хорошей идеей будет использовать для каждого слагаемого неравенство о средних, а также чуть-чуть пораскрывать/позакрывать скобочки.

Подсказка 1

Для начала посмотрим на три слагаемых слева. Каждое из них можно сделать немного приятнее, если воспользоваться abc=8.

Подсказка 2

Оказывается, сумма этих трёх дробей неплохо сворачивается.

Подсказка 3

Давайте подумаем, как оценить получившиеся скобки (a+2)(b+2)(c+2). Может быть, неравенством о средних?

Подсказка 4

Попробуем избавиться от одной из переменных за счёт условия abc=8.

Подсказка 1

Давайте попробуем оценить каждое слагаемое по отдельности. Сделаем оценку для одного, а для других получится аналогично.

Подсказка 2

Для начала избавимся от произведений различных чисел. Есть одно хорошее неравенство, суть которого в превращении среднего коэффициента квадрата суммы в сумму квадратов. Что это за неравенство?

Подсказка 3

Конечно же, это неравенство о средних. Интересно, во что оно может превратить 4ab?

Подсказка 4

Оно может превратить 4ab в 2a²+2b². Давайте подумаем, почему такой переход полезен.

Подсказка 5

Теперь в знаменателе стоит сумма всех квадратов, можем ее упростить при помощи условия задачи.

Подсказка 6

Дальше давайте поработаем с числителем: он тоже хорошо упрощается похожей идеей.

Подсказка 7

Что в числителе, что в знаменателе выражения хорошо упрощаются за счёт условия на квадраты. Осталось заметить финальный шаг, чтобы чуть более красиво представить дробь, наполненную неизвестной c. Учитывайте, что Вам потом придётся складывать три похожих дроби!

Подсказка 8

Оценив так каждое выражение, придём к сумме, в которой можно позаменять переменные на константы благодаря условию. Победа.

Подсказка 1

Введите симметрические многочлены: b = x + y + z, c = xy + yz + zx, d = xyz. Как запишутся уравнения системы через b, c, d?

Подсказка 2

По теореме Виета, x, y, z — корни уравнения t³ - bt² + ct - d = 0. Подставьте t = a в это уравнение, используя выражения b и c из системы.

Подсказка 3

Из подстановки получите уравнение, связывающее a и d. Оно должно выполняться для всех троек, значит, это условие даёт конкретное значение d (выраженное через a).

Подсказка 4

Проверьте, будет ли t = 1/a также корнем того же уравнения. Это поможет найти две переменные из тройки.

Подсказка 5

Зная два корня (a и 1/a) и произведение xyz, найдите третий корень.

Подсказка 6

Выразите x² + y² + z² через b и c. После подстановки получится функция только от a.

Подсказка 7

Примените неравенство о средних к слагаемым 2a² и 1/a². Найдите a, при котором достигается минимум, и проверьте условие a ≠ ±1.

Подсказка 1

Сперва заметим, что наше выражение хорошо сворачивается в (1-x)(1-y)-1.

Подсказка 2

Будет гораздо приятнее размышлять в терминах u=1-x, v=1-y. Перепишем условие задачи данных обозначениях.

Подсказка 3

Раз у нас получились неотрицательные u и v, а нам нужно найти связь произведения с суммой, то в первую очередь стоит подумать о неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим.

Подсказка 1

В левой части каждое слагаемое — произведение. Какое стандартное неравенство оценивает сумму таких произведений сверху через сумму квадратов?

Подсказка 2

Да, √(ab) ≤ (a+b)/2. Представьте первое слагаемое как корень из произведения. Что в этом произведении будет первым множителем, а что — вторым?

Подсказка 3

Верно: x√(1−y²) = √(x²(1−y²)). Сделайте так же для остальных и сложите оценки. К какой сумме это приведёт?

Подсказка 4

После сложения правая часть упростилась ровно до 3. Но исходная сумма тоже равна 3. Что это значит для каждого из трёх неравенств? Когда в √(ab) ≤ (a+b)/2 бывает равенство?

Подсказка 5

Равенство даёт x² = 1−y², аналогично для других пар. Сложите эти три уравнения — какое общее соотношение для x²+y²+z² получится?

Подсказка 6

Теперь у вас есть и сумма квадратов, и исходные равенства. Найдите каждое значение x², y², z² по отдельности. Осталось вспомнить про неотрицательность.

Подсказка 1

Три переменных как-то много! Попробуем выразить тангенс одной из переменных через две другие.

Подсказка 2

С учетом последнего равенства из условия получаем, что tg(z) = ctg(x + y).

Подсказка 3

Нам нужно узнать наибольшее значение произведения. Это намек на неравенство Коши!

Подсказка 4

Посчитаем, чему может быть равна сумма попарных произведений тангенсов. Теперь можем применить неравенство. Осталось учесть, когда равенство возможно.

Подсказка 1:

Что, если раскрыть скобки и привести подобные?

Подсказка 1

Сначала для удобства можно сделать замену переменных. Какую?

Подсказка 2

Ага, давайте обозначим за x = ab, y = cd, z = ad, t = bc. Тогда какое условие у нас есть на x, y, z, t и как переписывается наше неравенство?

Подсказка 3

Правильно! Тогда верно xy = zt = k, и мы хотим доказать, что (x + y)(z + t)/(x + y + z + t) ≥ √k. Уже видно, что можно пробовать применить неравенство о средних, и, например, любой из множителей (x + y) и (z+t) хотя бы 2√k, но что делать со знаменателем x + y + z + t?

Подсказка 4

Попробуйте просто оценить меньшее из множителей (x+y) и (z + t)!

Подсказка 1

Попробуйте понять, когда неравенство, которое просят доказать, верно независимо от условия.

Подсказка 2

Заметим, что при abcd < 16 задача совсем простая. Достаточно применить неравенство о средних. Теперь вспомните условие и попробуйте разобрать случай abcd ≥ 16.