Тема Классические неравенства

Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107137Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c,d$ докажите неравенство

(ab+-cd)(ad+-bc) √---- (a+ c)(b+ d) ≥ abcd

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала для удобства можно сделать замену переменных. Какую?

Подсказка 2

Ага, давайте обозначим за x = ab, y = cd, z = ad, t = bc. Тогда какое условие у нас есть на x, y, z, t и как переписывается наше неравенство?

Подсказка 3

Правильно! Тогда верно xy = zt = k, и мы хотим доказать, что (x + y)(z + t)/(x + y + z + t) ≥ √k. Уже видно, что можно пробовать применить неравенство о средних, и, например, любой из множителей (x + y) и (z+t) хотя бы 2√k, но что делать со знаменателем x + y + z + t?

Подсказка 4

Попробуйте просто оценить меньшее из множителей (x+y) и (z + t)!

Показать доказательство

Сделаем замену $x= ab,y = cd,z =ad,t=bc.$ Тогда у нас есть условие $xy = zt= k,$ и мы хотим доказать, что

(x+-y)(z+-t) √ - x+ y+z +t ≥ k

Будем считать, что $x+y ≥z +t.$ Тогда по неравенству о средних верно:

√ -- (x+-y)(z+-t)≥ 2(x+-y)⋅--zt ≥√zt- x +y+ z+ t x+y +z +t

Что и требовалось.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#107139Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ удовлетворяют условию $2(a +b+ c+ d) ≥abcd.$ Докажите, что $a2+ b2+ c2+ d2 ≥abcd.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте понять, когда неравенство, которое просят доказать, верно независимо от условия.

Подсказка 2

Заметим, что при abcd < 16 задача совсем простая. Достаточно применить неравенство о средних. Теперь вспомните условие и попробуйте разобрать случай abcd ≥ 16.

Показать доказательство

Первое решение.

Первый случай. Если $abcd≥ 16.$ Тогда по неравенству между средним квадратичным и арифметическим верно:

( a+ b+c+ d)2 ( abcd)2 a2+ b2+ c2+ d2 ≥4 ----4----- ≥ 4 -8-- ≥ abcd

Второй случай. Если $abcd <16.$ Тогда по неравенству о средних:

a2+ b2+c2+ d2 ≥4√abcd> √a2b2c2d2 = abcd

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Знаем, что

√ ---- a+ b+ c+d ≥4 4abcd

и, например, по КБШ

(a+ b+c+ d)2 a2 +b2+ c2 +d2 ≥-----4------

А тогда правую часть можно оценить с помощью условия и первого неравенства, как:

( ) 2 (a+-b+c+-d)2-= (a+ b+ c+d)23 ⋅(a+ b+c +d)43 ⋅ 1 ≥ 1⋅ 1abcd 3 ⋅(4√4abcd)43 = abcd 4 4 4 2

Что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119335Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a$ и $b$ таковы, что $a+ b+ c= 1.$ Докажите неравенство

--1-- --1-- --1-- 27 1 − a2 + 1 − b2 + 1− c2 ≥ 8

Показать доказательство

По неравенству о среднем гармоническом и среднем арифметическом достаточно показать, что

2 2 2 8 (1− a )+ (1− b)+ (1− c )≤3

Это равносильно тому, что $2 2 2 1 a + b +c ≥ 3.$ Из неравенства КБШ легко получить $2 2 2 2 3(a + b +c )≥ (a+ b+ c) = 1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125292Максимум баллов за задание: 7

Вещественные числа $x,y,z$ таковы, что $2x> y2+ z2,$ $2y > z2+ x2,$ $2z >x2+ y2.$ Докажите, что каждое из чисел $x,y,z$ меньше 1.

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 11.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Создаётся впечатление, что взяли слагаемые из разложений (x - 1)², (y - 1)² и (z - 1)² и расставили их по неравенствам. Как насчёт того, чтобы сложить какие-нибудь 2 неравенства?

Подсказка 2:

Давайте сложим первые два неравенства и выделим (x - 1)² и (y - 1)². Посмотрите внимательно на оставшиеся слагаемые. Какие на них накладываются ограничения, чтобы неравенство выполнялось?

Показать доказательство

Первое решение. Сложим первые два неравенства. Преобразуя, получаем неравенство:

2 2 2 0> (x − 1) + (y− 1) +2(z − 1).

Следовательно, $z2 <1.$ Тогда $z < 1,$ аналогично для других двух переменных.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Не умаляя общности, предположим, что $x≥ y ≥ z.$ Тогда $2y ≥2z > x2+ y2.$ Добавив к обеим частям неравенства $1− 2y,$ имеем:

2 2 2 1> x + (y − 1) ≥ x,

откуда наибольшее из чисел $x <1.$ Значит, и все числа меньше 1.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Из условия следует, что $2x >y2+ z2 ≥ 0,$ аналогично $y,z > 0.$ Также $2x >y2+ z2 ≥ 2yz$ по неравенству о средних. Значит, $x >yz,$ аналогично $y > zx$ и $z > xy.$ Не умаляя общности можно считать, что $x$ —– минимальное из чисел $x,y,z,$ тогда $y ≥x >yz,$ откуда $z < 1,$ аналогично $y <1,$ а тогда и $x< 1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126064Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ удовлетворяют соотношению $abc =1.$ Докажите, что $a2+b2+ c2 ≥a +b+ c.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Согласитесь же, что неприятно же решать неравенства, где такое условие на переменные. Как можно от него избавиться?

Показать доказательство

Домножим правую часть неравенства на $√3abc-=1,$ тогда требуется доказать:

2 2 2 3√--- a +b + c ≥(a+ b+c) abc

Исходя из неравенства о средних, имеем

2 2 2 2 2 2 6√-8-22 3√--- a + a + a +a + b +c ≥ 6 a bc = 6a abc

Аналогично

a2 +4b2+c2 ≥ 66√a2b8c2 = 6b3√abc

----- a2 +b2+ 4c2 ≥ 66√a2b8c2 = 6c3√abc

Сложив полученные неравенства и сократив на 6, получим требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#128976Максимум баллов за задание: 7

При каких положительных значениях $a,b$ и $c$ достигается наибольшее значение выражения?

--------abc--------- (1+ a)(a+ b)(b+ c)(c +16)

Источники: ПВГ - 2025, 10.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте рассмотрим обратную дробь и будем искать а, b и с, при которых достигается минимум этого выражения. Попробуйте зафиксировать какую-то пару переменных и понять, чему должна быть равна оставшаяся переменная для достижения минимума рассматриваемого выражения

Подсказка 2

Зафиксируем b и с, тогда (b + c)(c + 16)/bc тоже фиксировано, а значит, нам нужно минимизировать выражение (1 + а)(а + b)/a. Раскройте скобочки и попробуйте оценить полученную сумму

Подсказка 3

Так как 1 + b = const, нам нужно оценить а + b/a. Пользуясь неравенством о средних, мы можем понять, при каком условии данное выражение минимально.

Подсказка 4

Аналогично мы можем зафиксировать а и с и получить еще одну связь между переменными, а потом зафиксировав a и b, можем получить ещё одно уравнение. Решая систему, получаем ответ)

Показать ответ и решение

Максимум исходного выражения соответсвует минимуму выражения

(1+-a)(a+-b)(b+-c)(c-+16) abc

Зафиксируем $b$ и $c,$ будем искать минимум выражения

(1+ a)(a+b) a +a2+ ab+b b -----a----= -----a----- =a + a + 1+b

Так как

∘---- a+ b≥ 2 a ⋅ b= 2√b, a a

минимум достигается при $a = b, a$ то есть $a= √b.$

Зафиксируем $a$ и $c,$ будем искать минимум выражения

(a+-b)(b+c)= ab+-ac+b2+-bc= a+ c+ ac +b b b b

Так как

∘ ---- ac+ b≥ 2 ac⋅b= 2√ac, b b

минимум достигается при $b = ac, b$ то есть $b= √ac.$

Наконец, зафиксируем $a$ и $b,$ будем искать минимум выражения

(b+-c)(c+16)= bc+-c2+-16b+16c= b+ 16+ 16b+ c c c c

Так как

16b ∘ 16b--- √ --- -c-+c ≥2 -c-⋅c=2 16b,

минимум достигается при $16b c = c-,$ то есть $√- c= 4 b.$

Решим систему

( |{ a2 = b |( b2 = ac c2 = 16b

( |{ a2 =b | a3 =c ( c2 =16a2

( |{ a2 = b |( a2 = 4 c= 4a

Получаем ответ:

a= 2, b= 4, c =8

Ответ:

$a =2,b= 4,c= 8$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#130951Максимум баллов за задание: 7

Для положительных $x ,x,...,x 1 2 n$ докажите неравенство

x1 x2 xn x2 + x3 + ...+ x1 ≥ n.

Показать доказательство

Применим неравенство о средних. Для $n$ чисел $x1, x2$ …, $xn x1$ верно:

(x1 x2 xn ) -x2-+x3-+...+-x1-- ∘nx1--x2----xn- n√- n ≥ x2 ⋅x3 ⋅...⋅x1 = 1= 1.

Домножим обе части полученного неравенства на $n$ и получим искомое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#130953Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых положительных чисел $a 1$ , $a 2$ , …, $a n$ справедливо неравенство

∘-a1+a2 ∘ a2+-a3 ∘ an−1+-an ∘ an+-a1- √- --a3---+ --a4--+ ⋅⋅⋅+ ---a1---+ --a2--≥ n 2.

Показать доказательство

По неравенству о средних для двух слагаемых верно:

a1+ a2 √ ---- a1-+a2-=-a3--a3≥ --a1a2 2a3 2 a3 .

Применим несколько раз полученное неравенство и неравенство о средних для $n$ слагаемых и получим:

∘ a1+-a2- ∘ an+-a1 ( 4√a1a2 4√a1an) ---------------- ---2a3--+⋅⋅⋅+----2a2-- ---√a3-+-...+--√a2--- n∘ 4√a1a2 -4√a1an n ≥ n ≥ √a3 ⋅...⋅ √a2- = 1.

Умножая обе части на $√- 2⋅n,$ получаем искомое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#130955Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при положительных $x,y,z$ выполняется неравенство

( x)( y )( z) 2(x-+y-+z) 1+ y 1 +z 1+ x ≥ 2+ √3xyz- .

Показать доказательство

Раскроем скобки в левой части:

x x y y z z 2(x+-y+-z) 1+ y + z +z + x + x +y +1 ≥2 + 3√xyz

x+ x + y+ y+ z + z≥ 2(x√+3y+-z) y z z x x y xyz .

Заметим, что по неравенству о средних для 6 слагаемых верно:

x x y y z z S = y + z + z + x + x + y ≥6.

Следовательно,

3 2S ≥ S+ 3.

По неравенству о среднем гармоническом и геометрическом верно:

∘--- x--3x----≤ 3 yz2-⇐⇒ x+ x+ 1≥ √33x-- y + z +1 x y z xyz

Складывая ещё два аналогичных неравенства, получаем, что

S+ 3≥ 3(x√+3y+-z) xyz .

Поэтому верна цепочка неравенств:

3 3(x+y-+z) 2S ≥ S+ 3≥ 3√xyz .

Умножим обе части неравенства на $23$ и получим искомое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#135470Максимум баллов за задание: 7

Произведение положительных $x ,x ,...,x 1 2 10$ равно 1. Докажите, что

2 2 (1+ x1)...(1+ x10)> 1000.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Вам дано значение произведения. Вероятно, автор ожидает, что вы оцените левую часть неравенства выражением, которое включает переменные только в виде их произведения.

Подсказка 2:

Но выражение слева — произведение скобок вида 1 + xᵢ². Как можно оценить такую скобку выражением, в которое xᵢ входит в первой степени?

Подсказка 3:

Примените неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Показать доказательство

Для каждой скобки применим неравенство Коши:

2 1+ xi ≥ 2xi

Перемножая полученные неравенства, получаем

2 2 (1 +x1)...(1+x10)≥2x1⋅...⋅2x10 = 1024> 1000

что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#135471Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,$ $b$ и $c$ таковы, что $abc=1.$ Докажите, что

----1---- ----1---- ----1---- a2− ab+ b2 + b2− bc+ c2 + c2 − ac+ a2 ≤ a+ b+c.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Сделаем несколько наблюдений. Во-первых, неравенство инвариантно относительно перестановки переменных. Во-вторых, каждую из переменных можно представить в виде выражения от двух других переменных, например, c = 1 / ab.

Подсказка 2:

Как насчёт того, чтобы сравнить c и 1 / (a² – ab + b²)?

Подсказка 3:

Достаточно показать, что 1 / (a² – ab + b²) меньше, чем 1 / ab. А для этого a² – ab + b² должно быть больше, чем ab.

Показать доказательство

Оценим знаменатель дроби следующим образом:

2 2 2 a − ab+ b = (a− b)+ ab≥ ab

Таким образом, для одной дроби неравенство, учитывая $abc= 1,$ выглядит так:

----1---- 1- a2− ab+ b2 ≤ ab = c

Сделав аналогичную оценку для оставшихся дробей, получаем требуемое.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#135472Максимум баллов за задание: 7

Для любых положительных чисел $x$ и $y$ докажите неравенство

2 2 2 2 (x +4)(y + 4)≥ 2x(y + 4)+ 2y(x + 4).

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Поищите связь между слагаемыми из правой части и выражением из левой, с помощью которой можно оценить правую часть сверху.

Подсказка 2:

Обратите внимание, что в правой части появились выражения 2x и 2y. Не считаете ли вы, что они некоторым образом связаны с выражениями x² + 4 и y² + 4?

Подсказка 3:

А если поискать связь между 4x и 4y с x² + 4 и y² + 4? Их связывает неравенство между средним арифметическим и геометрическим.

Показать доказательство

По неравенству о средних получаем такие две оценки:

(x2+4)(y2+-4) 2 2 ≥ 2x(y + 4)

(x2+4)(y2+ 4) -----2------≥ 2y(x2+ 4)

Складывая эти два неравенства, получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#135473Максимум баллов за задание: 7

Для положительных $x,y,z$ докажите неравенство

xy yz zx z + x + y ≥x +y+ z.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Обратите внимание на произведение каких-либо двух слагаемых из левой части, чему оно равно? Это не наталкивает на какие-либо оценки?

Подсказка 2:

Можно заметить, что если применить неравенство о средних к первым двум слагаемым левой части, получится оценка суммы через 2x. Но нам нужно не 2x, а x. Как это исправить?

Подсказка 3:

Разделите эти слагаемые на два. Попробуйте развить эту идею.

Показать доказательство

По неравенству Коши получаем

xy yz 2z + 2x ≥y

xy xz 2z + 2y ≥x

xz+ yz ≥z 2y 2x

Складывая три этих неравенства, получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#135475Максимум баллов за задание: 7

Сумма неотрицательных чисел $a,b,c,d$ равна 4. Докажите неравенство

2 2 2 2 (a +b )cd+ (c + d )ab≤ 4.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Нужно понять, как связать выражение из левой части с суммой всех переменных.

Подсказка 2:

Сумму переменных, делённую пополам, можно оценить снизу выражением √(a + b)(c + d). А вот это выражение уже можно связать с левой частью изначального неравенства.

Подсказка 3:

Если быть точнее, то связать можно с выражением (a + b)²(c + d)², которое также нетрудно оценить числом 16.

Подсказка 4:

(a + b)²(c + d)² = 2(a² + b²)cd + 2(c² + d²)ab + (a² + b²)(c² + d²) + 4abcd.
Если показать, что 2(a² + b²)cd + 2(c² + d²)ab ≥ (a² + b²)(c² + d²) + 4abcd, задача будет решена.

Подсказка 5:

Доказать последнее неравенство можно вручную, а можно вспомнить, что такое транснеравенство.

Показать доказательство

По неравенству Коши получаем

∘---------- a+-b+-c+d- (a+ b)(c+d)≤ 2 = 2

Тогда

(a+ b)2(c+ d)2 ≤16

Раскроем скобки в предыдущем выражении:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a+b) (c+ d) =2(a +b )cd+ 2(c + d )ab+ (a + b)(c +d )+4abcd ≤16

Таким образом, достаточно доказать, что последние два слагаемых не меньше, чем первые два. Тогда сумма первых двух не более восьми, то есть требуемая в условии не более четырёх. Обозначим $x =a2+ b2,$ $y = 2ab,$ $z = c2+ d2,$ $t= 2cd.$ Тогда необходимо доказать

xz+ yt≥ xt+ yz

или же

(x− y)(z− t)≥ 0

Последнее неравенство верно, поскольку $x − y =(a− b)2,$ а $z − t= (c − d)2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#135476Максимум баллов за задание: 7

Даны числа $a,$ $b,$ $c$ , не меньшие $1.$ Докажите, что

a+ b+c √ab−-1 √bc−-1 √ca−-1 ---4---≥ -b+-c-+ -c+-a-+ -a+-b-.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Слагаемые в выражении справа выглядят неестественно. Попробуйте как-нибудь оценить их сверху выражениями, с которыми проще работать.

Подсказка 2:

Например, было бы здорово, если знаменатели в слагаемых тоже оказались под корнем. Корень из произведения двух выражений можно оценить сверху через неравенство о средних.

Подсказка 3:

Как насчёт того, чтобы оценить знаменатель в каждом из слагаемых справа с помощью неравенства о средних? Как дальше оценивать?

Подсказка 4:

4√(ab – 1) / (b + c) ≤ 2√((ab – 1) / bc) = 2√((a – 1/b) • 1/c). Это реализация предыдущих подсказок. Осталось немного довести оценку с помощью неравенства о средних.

Показать доказательство

По неравенству о средних имеем

√-- b+c ≥2 bc,

откуда

√ab-− 1 ∘ ab−-1 ∘(----1)-1 ( 1) 1 4--b+c- ≤2 --bc--= 2 a − b ⋅c ≤ a− b + c,

где в последнем переходе опять применено неравенство о средних. Аналогично выводятся неравенства

√----- ( ) √ ----- ( ) 4 -bc− 1-≤ b− 1 + 1, 4--ca-− 1 ≤ c−-1 + 1. c+a c a a +b a b

Складывая три полученных неравенства, получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#135671Максимум баллов за задание: 7

Дано положительное число $x$ и натуральное число $n.$ Докажите, что

n+1 --(2x)n-- 1+ x ≥ (1+ x)n− 1.

Показать доказательство

По неравенству о средних $1+ xn+1 ≥ 2x n+12$ и $1 +x ≥2x12.$ Тогда

n+1 n−1 n+1( 1)n−1 n (1+ x )(1+x) ≥ 2x 2 2x2 = (2x)

что и требовалось доказать.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#135672Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,$ $b,$ $c$ и $d$ равна $4.$ Докажите неравенство

ab+bc+ cd +da≤ 4.

Показать доказательство

По неравенству о средних

(a+ b+ c+d)2 ab+bc+ cd +da= (a+c)(b+ d)≤ ----2----- =4

что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#135673Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство

a2+-7 b2+-7 b+3 + a +3 ≥ 4.

Показать доказательство

По неравенству о средних $a2+ 1≥ 2a$ и $b2+ 1≥ 2b.$ Тогда

a2-+7- b2+-7 2a+-6 2b+-6 b+ 3 + a+ 3 ≥ b+3 + a +3 ≥ 4

где второй переход также получен по неравенству о средних.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#74902Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных $a$ и $b$ имеет место неравенство

√ - √3- 5√-- 2 a+3 b≥ 5 ab

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас стоят коэффициенты 2 и 3, а справа стоит 5..Наверное, нужно как-то применить нер-во о средних к пяти числам, а не к двум..

Подсказка 2

Разбейте 2 и 3 как 1+1 и 1+1+1)

Показать доказательство

Применим неравенство о средних для пяти чисел (они положительные):

√- 3√- √- √ - 3√- 3√- 3√- 5√ -- 2 a+ 3 b= a + a+ b+ b+ b ≥5 ab

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#79855Максимум баллов за задание: 7

Произведение положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ равно единице. Докажите, что $(1 +2a )⋅(1+ 2a)⋅...⋅(1+ 2a )≥ 3n. 1 2 n$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем сначала оценить одну из скобок. В результате мы хотим получить произведение данных чисел. Какое неравенство можно применить, чтобы избавиться от суммы в скобках?

Подсказка 2

Верно! Неравенство о средних. Если применить его в каждой скобке к числам 1 и 2a, то получим не совсем то, что требуется: появится множитель 2√2. Нам хотелось бы множитель 3. Как его получить?

Подсказка 3

Точно! Вместо 1 и 2a применим неравенство о средних к трем числам 1, a и a. Что тогда получится?

Показать доказательство

Оценим каждую скобку по неравенству о средних: $1 +2a = 1+a + a ≥3∘3a2-. i i i i$ Перемножим все такие неравенства для каждой скобки и получим:

n 3∘------------ n (1+ 2a1)⋅(1+2a2)⋅...⋅(1 +2an)≥ 3 (a1a2⋅...⋅an)2 = 3