Тема . Классические неравенства

Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130955

Докажите, что при положительных $x,y,z$ выполняется неравенство

( x)( y )( z) 2(x-+y-+z) 1+ y 1 +z 1+ x ≥ 2+ √3xyz- .

Показать доказательство

Раскроем скобки в левой части:

x x y y z z 2(x+-y+-z) 1+ y + z +z + x + x +y +1 ≥2 + 3√xyz

x+ x + y+ y+ z + z≥ 2(x√+3y+-z) y z z x x y xyz .

Заметим, что по неравенству о средних для 6 слагаемых верно:

x x y y z z S = y + z + z + x + x + y ≥6.

Следовательно,

3 2S ≥ S+ 3.

По неравенству о среднем гармоническом и геометрическом верно:

∘--- x--3x----≤ 3 yz2-⇐⇒ x+ x+ 1≥ √33x-- y + z +1 x y z xyz

Складывая ещё два аналогичных неравенства, получаем, что

S+ 3≥ 3(x√+3y+-z) xyz .

Поэтому верна цепочка неравенств:

3 3(x+y-+z) 2S ≥ S+ 3≥ 3√xyz .

Умножим обе части неравенства на $23$ и получим искомое.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse