Неравенство о средних
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
и 
— вещественные числа из отрезка ![[0,1].](/api/latex-service/v1/GetSession/138771/index-d348c91d61485c83b5828680d81c66e1.svg)
Докажите, что
Подсказка 1:
В данном неравенстве самыми неудобными являются слагаемые a²b, b²c и c²a. Было бы очень здорово, если бы они превратились в суммы более простых чисел.
Подсказка 2:
Это можно сделать с помощью одного неравенства, используя то, что числа на отрезке [0, 1]. Подумайте, как сравнить xy и x + y.
Подсказка 3:
Давайте заметим, что если x и y лежат на отрезке [0; 1], то xy >= x + y - 1, потому что (x - 1)(y - 1) >= 0. Попробуйте многократно применить это неравенство.
Запишем неравенство 
в виде 
Используем его, чтобы оценить слагаемые 
Запишем неравенство в виде:
Теперь снова применим неравенство 
для слагаемых 
Приведём подобные:
Теперь осталось вспомнить, что числа по условию из промежутка ![[0,1],](/api/latex-service/v1/GetSession/138772/index-9444a7a40e17b57eae154783a7441e57.svg)
а значит 
Отсюда
следует, что 
и 
Если сложить последние два неравенства, мы получим
требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
