Неравенство о средних

Подсказка 1

Для начала заметим, что наше неравенство не изменится, если a->b->c->a (а заменить на b, b заменить на c, c заменить на a). А, значит, можно попробовать оценить какое-то слагаемое из правой части с помощью левой каким-то способом, а затем сделать один шаг в цикле a->b->c->a в нашем выражении для оценки и получить новую - уже на другое слагаемое.

Подсказка 2

Если не получается подобрать такие коэффициенты, с которыми надо брать слагаемые из левой части для оценки 1-ого слагаемого из второй, то попробуйте составить и решить систему в натуральных числах, где неизвестными будут коэффициенты перед 1-ым, 2-ым, 3-ем слагаемыми левой части соответственно.

Подсказка 3

У вас должна была получиться система: 9x+z = 5(x+y+z); 9y+x = 5(x+y+z); 9z+y = 5(x+y+z) (Мы стремились, чтобы корень степени x+y+z дал нужные степени после применения к числам в степенях 9x+z, 9y+x, 9z+y).

Подсказка 4

Попробуйте умножить 2-ое уравнение на 2 и вычесть его из 1-ого, а затем подобрать (y, z) так, чтобы x получился натуральным и тройка (x, y, z) удовлетворяла системе. После останется применить факт из 1-ой подсказки.