Неравенство о средних

Сформулируем и докажем лемму:

Лемма. Пусть — действительные числа. Тогда

Доказательство. Утверждение леммы эквивалентно неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим для набора чисел

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к доказательству основной задачи. Здесь и далее,

где — произвольная функция.

Тогда, по доказанной лемме, достаточно доказать неравенство

Раскрыв скобки, получим

Вновь, по неравенству между средним арифметическим и гармоническим, имеем

Кроме этого, по неравенству между средним квадратичным и арифметическим,

Наконец, сложив полученные неравенства, получим требуемое.