Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
Докажите неравенство 
Подсказка 1
Нам необходимо воспользоваться условием на сумму квадратов. Какое классическое неравенство позволяет оценить сумму переменных при заданной сумме квадратов?
Подсказка 2
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Достаточно ли применить его к сумме переменных?
Подсказка 3
Нет, в этом случае нам необходимо будет доказывать неравенство √6 <= abc + 2, что даже при условии на сумму квадратов — неверно. Как КБШ можно применить иначе?
Подсказка 4
Давайте перенесем abc в левую часть (оценивать выражение константой обычно приятнее). Тогда левая часть имеет вид (b + c) + a(1 - bc). Каким образом ее можно оценить с помощью КБШ?
Подсказка 5
Левая часть равна (b + c) + a(1 - bc) и не превосходит √((b + c)² + a²)(1 + (1 - bc)²). Наконец, мы можем воспользоваться условием на сумму квадратов. Какой вид имеет неравенство? Как можно упростить его вид?
Подсказка 6
Теперь в неравенстве участвует только выражение bc. Давайте сделаем замену x = 1 - bc. Какой вид имеет неравенство? Как его можно проверить?
Подсказка 7
После раскрытия скобок и приведения подобных получим, что достаточно проверить, что 4x² - 2x - 2x³ <= 0. Как это можно сделать?
Подсказка 8
Достаточно разложить левую часть на множители -2x(x-1)²(а почему же x неотрицательный?).
Первое решение.
Поймём для начала что-то про 
Перепишем равенство из условия в виде 
К тому же верна следующая цепочка
неравенств
Значит, получаем, что 
Перенесём теперь 
в левую сторону и запишем КБШ
Получаем, что нам надо доказать следующее неравенство 
Возведём в квадрат, сделаем замену 
где 
неотрицательный, и сделаем преобразования
Последнее неравенство верно, поэтому получаем, что и наше исходное неравенство доказано. ______________________________________________
Второе решение.
Равенство переписывается в виде 
а неравенство в виде 
Зафиксируем 
и 
достигает минимального
значения, если
i) в тройке 
одно из чисел равно нулю. Без ограничений общности, считаем, что 
Тогда 
а неравенство
имеет вид 
последнее следует из неравенства между средним квадратичным и арифметическим для чисел 
и
ii) в тройке 
нашлась пара равных. Без ограничений общности, будем считать, что 
В этом случае 
следовательно 
а неравенство имеет вид
Выразим 
из выражения 
Последнее является суммой неравенств 
и неравенства о средних
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
