Прямая Симсона

(a) Заметим, что если отразить точку относительно точки то она попадет на прямую а значит лежит на соответственной средней линии.

(b) Пусть — центр вписанной окружности. Докажем следующее утверждение.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма.

Доказательство. Утверждение леммы сразу следует из цепочки равенств:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Обозначим через точку симметричную точке относительно Тогда

Следовательно, точки лежат на одной окружности.

Откуда утверждение задачи верно в силу существования прямой Симсона точки относительно треугольника так как точки касания вписанной окружности и сторон совпадают с проекциями точки на эти стороны, и точка лежит на в силу пункта (a).