Расположение точек, отрезков и прямых

Занумеруем точки по порядку остатками при делении на и рассмотрим ломаную с вершинами в этих точках. На каждом ее звене запишем сумму чисел, стоящих в концах звена. Легко проверить очень простой критерий параллельности звеньев: числа, записанные на них, дают равные остатки при делении на Предположив, что параллельных звеньев нет, получим, что на звеньях написаны разные остатки при делении на т.е. сумма всех таких остатков равна С другой стороны, сумма чисел на всех звеньях - это удвоенная сумма чисел, написанных на всех вершинах (каждая вершина «отдает» свой номер двум звеньям). Получаем, что и должны давать один остаток при делении на Но тогда должно делиться на что невозможно — получаем противоречие.