Расположение точек, отрезков и прямых

Пусть отмечены красные точки , синие точки , и зеленые точки .

Поскольку для каждой точки выполняется неравенство треугольника , то

Откуда .

Аналогично, просуммировав неравенства , получим .

Далее перебором можно установить, что найденным соотношениям и равенству удовлетворяют ровно две тройки натуральных чисел

Покажем, что оба найденных варианта могут быть реализованы на прямой. Каждую из отмеченных точек будем задавать ее координатой.

Первый вариант:

Второй вариант: .

Занумеруем точки по порядку остатками при делении на и рассмотрим ломаную с вершинами в этих точках. На каждом ее звене запишем сумму чисел, стоящих в концах звена. Легко проверить очень простой критерий параллельности звеньев: числа, записанные на них, дают равные остатки при делении на Предположив, что параллельных звеньев нет, получим, что на звеньях написаны разные остатки при делении на т.е. сумма всех таких остатков равна С другой стороны, сумма чисел на всех звеньях - это удвоенная сумма чисел, написанных на всех вершинах (каждая вершина «отдает» свой номер двум звеньям). Получаем, что и должны давать один остаток при делении на Но тогда должно делиться на что невозможно — получаем противоречие.

Начнем перемещать синюю точку по прямой, не содержащей красные точки. Остановимся тогда, когда она пересечет первый отрезок с концами в красных точках, но еще не дойдет до второго. Если такого момента времени не существует, значит синяя точка не лежит ни в одном красном треугольнике (любая прямая, проведенная через синюю точку, пересекла бы его стороны), и утверждение задачи очевидно. Назовем вершины пересеченного отрезка и

Сравним количество треугольников, содержащих синюю точку в исходном ее положении и после перемещения. Ясно что любой треугольник, не содержащий сторону либо содержал синюю точку оба раза, либо не содержал, так как синяя точка не пересекла на своем пути ни одну из его сторон. Рассмотрим полуплоскость относительно в которой изначально располагалась синяя точка. Утверждается, что треугольник со стороной и третьей вершиной в любой красной точке этой полуплоскости содержал синюю точку в ее исходном положении. Действительно, в противном случае отрезок, соединяющий исходное положение синей точки и точку, в которой траектория ее движения пересекает пересекает и некоторую сторону этого треугольника. Ясно, что никакой треугольник со стороной и вершиной в другой полуплоскости не содержит исходное положение синей точки. Теперь рассмотрим другую полуплоскость относительно  – в которой располагается синяя точка в момент остановки. Аналогично, треугольник со стороной и любой вершиной этой полуплоскости содержит синюю точку после перемещения.

Если в полуплоскости, в которой изначально находилась синяя точка, красных вершин, то ясно, что в другой полуплоскости их а количество треугольников, содержащих синюю точку, при описанном перемещении изменилось на Так как это число четное, мы доказали, что описанная операция не меняет четности количества треугольников, содержащих синюю точку. Будем повторять эту операцию до тех пор, пока синяя точка не выйдет за пределы выпуклой оболочки множества красных точек. Ясно, что когда этот момент наступит, не будет существовать ни одного красного треугольника, содержащего синюю точку, то есть в конце четное количество треугольников с вершинами в красных точках содержит синюю. Значит, изначально количество таких треугольников тоже было четным.

Предположим, что точки , и лежат на одной прямой. Тогда сумма каких-то двух отрезков между ними равна третьему отрезку. Самый большой из данных отрезков — отрезок . Проверим равенство : . Мы получили противоречие, значит, наше предположение было неверно, и точки , и не могут лежать на одной прямой.

В этой задаче возможны два случая: когда отрезки отложены от общего конца в одну сторону и когда они отложены в разные стороны.

Сначала разберем случай, когда они отложены в разные стороны. Обозначим общий конец отрезков через , вторые концы — через и (причем отрезок меньше ). Тогда точка лежит между и . Далее, обозначим середины и через и . Нам нужно найти длину отрезка . При этом точка лежит между и .

Так как  — середина , то длина . Аналогично так как  — середина , то длина . Тогда длина искомого отрезка, то есть , равна сумме .

Перейдем ко второму случаю, когда отрезки отложены в одну и ту же сторону. Введем те же обозначения для концов отрезков и их середин, но теперь мы получим картинку, на которой точка лежит между и .

Теперь, чтобы найти длину , можно из длины отрезка вычесть длину отрезка . Отрезок , равный половине , равен . Отрезок , равный половине , равен . Получаем, что .

Итак, мы разобрали оба возможных случая, в одном получили ответ , в другом — . Задача решена.

Выберем квадрат, который нельзя подвинуть (если такого нет, то у нас движимых квадрата). Проведем прямые, содержащие его диагонали. Они разобьют плоскость на части: верхнюю, нижнюю, правую и левую. Заметим, что строго внутри каждой части лежит центр некоторого квадрата (иначе исходный квадрат можно подвинуть в соответствующем направлении). Рассмотрим отдельно верхнюю часть. Выберем квадрат, центр которого является одним из самых высоких, принадлежащих верхней части. Тогда этот квадрат можно подвинуть наверх (иначе в верхней части был бы более высокий центр некоторого квадрата). Аналогично выбираем движимые квадраты в других частях. Таким, образом. движимых квадратов хотя бы

Докажем, что может быть ровно движимых квадрата. Рассмотрим два квадрата со стороной , занимающих одинаковые строки, между которыми находится ровно пустой столбец, заполним этот столбец квадратами со стороной Легко проверить, что в таком примере ровно движимых квадрата.

Пример. Покажем сначала, что при требуемое возможно. Отметим на окружности 180 точек, разбивающих её на 180 равных дуг величиной по каждая. Величина любой дуги с концами в двух из отмеченных точек выражается чётным числом градусов, поэтому величина любого вписанного в окружность угла, образованного тремя отмеченными точками, выражается натуральным числом градусов. Следовательно, 180 отмеченных точек удовлетворяют условию задачи.

Теперь докажем оценку это можно сделать несколькими способами.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первый способ. Осталось доказать, что Любые три отмеченных точки образуют треугольник, поэтому не могут лежать на одной прямой. Считая отмеченные точки расположенными на координатной плоскости, обозначим через любую из них с максимальной ординатой. Среди оставшихся выберем точки и такие, что угол максимален.

Из условия задачи следует, что в треугольнике величины углов и не меньше поэтому величина угла не больше Ввиду выбора точек и остальные отмеченные точки лежат строго внутри угла и каждый луч с началом в точке содержит не больше одной из них. Проведя через каждую отмеченную точку внутри угла луч с началом в точке получим различных луча, делящих на угла. Если то хотя бы один из этих углов имеет величину, меньшую и является углом некоторого треугольника с вершинами в трёх отмеченных точках, что противоречит условию задачи. Следовательно, то есть что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ. Рассмотрим пару отмеченных точек на наибольшем расстоянии друг от друга. Тогда для любой другой отмеченной точки сторона — наибольшая в треугольнике поэтому, в частности, угол острый.

Проведя из точки лучи во все отмеченные точки, получаем, что все эти лучи различны (ибо три отмеченных точки не могут лежать на одной прямой), и каждый составляет с лучом острый угол, выражаемый целым числом градусов. Такой угол (если луч не совпадает с ) может принимать значения от до поэтому количество таких лучей не превосходит Отсюда

Пример. При чётном рассмотрим параллельных прямых и на каждой выделим пару непересекающихся лучей. Заметим, что в каждой паре лучей пересечений со сферой не больше двух, так как прямая имеет со сферой не более двух общих точек, поэтому Пример для нечётного получается удалением из примера для одного луча.

Оценка. Рассмотрим некоторую прямую которая не перпендикулярна ни одному из наших лучей. Рассмотрим проекции наших лучей на среди них не менее направлены в одну сторону (будем говорить, что вправо), забудем про остальные лучи. Пусть точка на прямой принадлежит всем выбранным проекциям, выберем произвольную точку правее. Пусть и — плоскости, перпендикулярные прямой проходящие через и соответственно. Каждый из выбранных нами лучей пересекает обе эти плоскости. Выберем достаточно большое такое, чтобы окружность с центром и радиуса содержала внутри все точки пересечения плоскости с выбранными лучами. Рассмотрим сферу которая касается плоскости в точке и содержит окружность Рассмотрим любой из наших лучей. Он проходит через точку внутри сферы а его начало лежит в другом полупространстве относительно плоскости нежели поэтому он пересекает в двух точках. Таким образом, мы получили точек пересечения.

Расположим числа в порядке возрастания: Покажем, что медиана этого ряда - число - является искомым. Обозначим — сумма расстояний от числа до остальных чисел.

Рассмотрим число Если то сумма расстояний от до первых четырёх чисел увеличится на а до последних четырёх — уменьшится на (по сравнению с числом ), и при этом до самого числа расстояние равно то есть Если , то есть , то сумма расстояний от до всех чисел будет равна Рассуждая аналогично при получим вывод: минимальное значение достигается при При отрицательных значениях рассуждения ничем не отличаются.

Объем тетраэдра с ребром 8 есть поскольку этот тетраэдр получается если взять не соединенные ребром вершины куба с ребром Заметим, что значит если удастся тетраэдр разрезать на 64 тетраэдра с вершинами в отмеченных точках, то один из тетраэдров разбиения будет иметь объем меньше

Докажем, что если внутри тетраэдра выбраны точек, так что если добавить к ним вершины тетраэдра, то среди полученных точек никакие не лежат в одной плоскости, тогда тетраэдр можно разрезать на тетраэдр с вершинами в выбранных точках.

Индукция по При считаем что тетраэдр разбит на один тетраэдр — самого себя. Пусть для доказано, докажем для Возьмем любые из внутренних точек, по предположению индукции разобьем тетраэдр. Теперь добавим последнюю точку, и посмотрим, внутрь какого тетраэдра разбиения она попала. Этот тетраэдр разобьем на четыре, каждый из которых образован новой точкой и гранью разбиваемого тетраэдра. Разбитый тетраэдр заменим в разбиении четырьмя новыми, число тетраэдров в разбиении выросло на ( добавили убрали). Итак, при имеем разбиение на тетраэдра, что и требовалось.

Пример на точек получается, если отметить все вершины клеток квадрата а затем удалить две противоположные вершины. Тогда при стирании не центральной точки квадрата останется нетронутым один из квадратов а при стирании центральной можно составить квадрат из середин сторон исходного квадрата

Оценка. Пусть отмечено не более точек. Можно считать, что точек ровно Сотрем произвольную точку, по условию, должен остаться квадрат. Обозначим его вершины по часовой стрелке. Тогда при стирании вершины все равно должен остаться квадрат. Из вершин и в этом квадрате может использоваться только две, назовем их и Другие две вершины квадрата новые, назовем их и Сотрем вершину Оставшиеся точек не образуют ни одного квадрата.

Рассмотрим одну точку. По условию, ее можно соединить плохим отрезком с некоторой второй точкой, а на отрезке будет лежать третья. Третью точку тоже нужно соединить плохим отрезком с какой-нибудь точкой, но при этом нельзя с первой или второй, так как тогда будет уже точки на одной прямой. Значит, третья соединяется с четвертой, а на отрезке будет лежать пятая. Заметим, что при этом пятая точка не может быть соединена плохим отрезком ни с какой из первых четырех. Значит, нужно использовать еще хотя бы одну точку, т. е. точек не меньше 6. Пример приведён на рисунке.

Пример. Достаточно провести стороны и медианы произвольного треугольника и отметить все точки пересечения.

Оценка. Если через каждую отмеченную точку проходят не более двух прямых, то точек не меньше Если же через какую-нибудь отмеченную точку проходят не менее трёх прямых, то на этих прямых есть ещё по две точки, поэтому всего точек не меньше семи.

Наименьшее возможное число отмеченных точек равно Пример: расположим все точки на оси через равные промежутки. Тогда середины будут образовывать арифметическую прогрессию с шагом в половину расстояния между соседними точками, что даёт ровно различных середин.

Докажем, что меньше получить нельзя. Пусть — наибольший отрезок. Его середина уникальна. Для любой другой точки рассмотрим середины отрезков и Эти середины:

• Не совпадают с так как и (иначе не был бы максимальным).
• По середине отрезка и одному из концов однозначно восстанавливается второй конец. Поэтому для любых середины отрезков (соответственно ) различны.
• Для любых середины отрезков различны: если бы они совпадали в точке то по неравенству треугольника откуда или

Таким образом, для точек (кроме и ) получаем уникальных середин. Добавляя исходную середину получаем общее количество: