Анализ позиций

Пусть первого игрока зовут Петей, а второго — Васей. Первым ходом Петя уберет из кучки один камень, а оставшиеся разделит на кучки из (про которую можно забыть) и камней. Теперь докажем более общий факт: если на столе лежат кучки из и камней, то проигрывает тот, чья очередь ходить.

Пусть соперник Пети Вася сделал ответный ход в кучку или разделил кучку на две, взяв из нее больше одного камня. У него получились кучки из и камней, где Тогда Петя следующим ходом создает две такие же кучки, получает позицию и выигрывает, делая ходы, симметричные ходам первого.

Пусть Вася возьмет один камень из кучки и разделит ее на кучки из и камней. Тогда числа и будут разной четности. Пусть четно. Тогда Петя из кучки в камней получит кучки из и камней (что возможно, так как после чего мысленно разделяет игру на две: одну на паре равных кучек где он побеждает, делая ходы, симметричные ходам первого, и вторую — на паре кучек где он снова применяет стратегию, описанную выше.

Таким образом, у второго всегда есть возможность сделать ход, и он побеждает в силу того, что всего в игре можно сделать не больше ходов.