.03 Движение с переменным ускорением

Способ 1

1. Запишем закон сохранения импульса для системы «лодка—человек»

После прыжка человек и лодка движутся как единое целое с некоторой скоростью . Для удобства введем общую массу системы:

2. Посмотрим на движение лодки и человека в произвольный момент времени Запишем 2ой закон Ньютона для системы:

Лодка не совершает вертикального движения, из этого следует, что силы и компенсируют друг друга (их векторная сумма равна нулю).

Из этого непосредственно следует:

Перед нами дифференциальное уравнение первого порядка по Давайте попробуем избежать необходимости решать дифференциальное уравнение и перепишем его в следующем виде:

Теперь просто сократим небольшое приращение времени и вычислим сумму малых приращений и .

В итоге получаем:

Что особенно примечательно в нашем решении? Дифференциальное уравнение, с которого мы стартовали, описывает конкретное состояние системы в конкретный момент времени. Нам удалось «просуммировать» наше преобразованное уравнение по всем таким состояниям и получить закон, описывающий вообще весь процесс движения системы.

3. Перейдем от векторной записи к скалярной и получим окончательный ответ:

Способ 2

Тут мы стартуем от дифф. уравнения. Будем решать его, используя инструменты высшей математики.

Для начала перепишем уравнение в проекции на ось :

Разделим переменные и получим уравнение, которое можем сразу проинтегрировать:

Откуда взялась буква в определенном интеграле? Все очень просто: нам нужно получить функциональную зависимость Поэтому левую часть равенства мы интегрируем от начального момента времени до просто произвольного моента времени . Но буква уже стоит в дифференциале, по которому мы интегрируем, поэтому введем новую переменную имеющую тот же смысл, что и .

Нам удалось получить искомую зависимость:

Остался последний шаг:

Время течет бесконечно:) В связи с этим нужно устремить один из пределов интегрирования к бесконечности. Перед нами снова табличный интеграл, получаем в итоге: