03 Движение с переменным ускорением

При всплытии сферы с постоянной скоростью сумма сил, действующих на неё, равна нулю. Вертикально вниз действуют силы тяжести и сопротивления , а вертикально вверх – сила Архимеда . При движении вниз с той же постоянной скоростью вертикально вниз действует сила тяжести , где – масса добавленного груза, а вертикально вверх – такая же сила Архимеда , как в первом случае, и сила сопротивления (неизменная по модулю в силу равенства модулей скоростей сферы относительно воды в обоих случаях). Таким образом:

Сложив уравнения, получим:

(Официальное решение ВсОШ)

По условию

где – некоторый коэффициент пропорциональности.
При установившемся падении

Пусть вначале капли имели площадь сечения и массу . Тогда

Аналогично, для случая с «добавкой»:

По условию . Значит, линейные размеры (радиус капель и т.п.) отличаются в раз. Площади сечений относятся как квадраты линейных размеров, т.е. у тяжелой капли площадь сечения в раз больше:

Подставим полученные соотношения в формулы равенства сил:

Поделив уравнения друг на друга, получим

Отсюда

(Официальное решение ВсОШ)

Поскольку на шар большего радиуса действует большая сила сопротивления воздуха, при движении шары расположатся друг над другом, причем шар большего радиуса окажется сверху (см. рисунок). Поэтому второй закон Ньютона для каждого имеет вид

где и – массы меньшего и большего шара соответственно, – сила натяжения нити, и – силы сопротивления воздуха, действующие на меньшее и большее тело соответственно. Найдем связи между массами шаров и силами сопротивления. Очевидно

Поэтому система уравнений (*) дает

Отсюда получаем

(Официальное решение Росатом)

В случае равномерного движения шарика вверх в безветренную погоду на него действуют сила Архимеда , сила тяжести и сила сопротивления воздуха (рис.), причём:

При движении шарика, привязанного к багажнику, , где – скорость шарика относительно воздуха и на шарик действует дополнительно сила натяжения нити (рис.). В проекции на ось , перпендикулярную нити:

или

Решая совместно с (1), получим

(Официальное решение ПВГ)

Согласно условию

где – коэффициент пропорциональности.

Проекции ускорения тела на горизонтальную ось и вертикальную ось , направленную вниз, из второго закона Ньютона в проекциях на эти оси соответственно равны:

Здесь – масса тела, – ускорение свободного падения. При малых временах полета можно считать , , и движение тела происходит с постоянным ускорением.
Для малого промежутка времени координаты тела

т.е.

В установившемся режиме , . т.е. . В этом случае

Таким образом

Примем за положительное направление движения цилиндра – вниз, а за положительное направление вращения – по часовой стрелке. Тогда скорость точки цилиндра, соприкасающейся с левой доской

Аналогично для точки цилиндра, соприкасающейся с правой доской (рис. 2)

При установившемся движении сумма сил, приложенных к цилиндру, равна нулю, а также равен нулю суммарный момент сил трения относительно оси цилиндра(рис. 3):

Подставив

получаем систему уравнений

решая которую, находим

Как видно из выражения для скорости, цилиндр движется вверх, если

(Официальное решение ВсОШ)

При движении со скоростью расстояние катер преодолевает за время При этом мощность сил сопротивления равна

где – размерный коэффициент.
Так как по условию массовый расход топлива линейно зависит от мощности сил сопротивления

где и – размерные коэффициенты, то линейный расход топлива равен

Найдем константы и по известным значениям , , и . Для этого запишем уравнения для линейного расхода

Решая систему, получим:

С учетом найденных размерных коэффициентов уравнение для линейного расхода приобретает вид:

График этой зависимости представлен на рисунке 9.10.

В режиме холостого хода двигатель неподвижный модели сможет проработать мин. Умножим полученное выражение для на , получим квадратное уравнение (с размерными коэффициентами, полученными ранее)

дискриминант которого обращается в ноль при , что соответствует .

Максимальное расстояние, на которое может уплыть модель, двигаясь с оптимальной скоростью, , и на его преодоление требуется время . Зависимость предельной дальности движения от скорости приведена на рисунке 9.11.

Так как требуемое расстояние меньше предельной дальности , то модель не обязана придерживаться оптимальной стратегии и может плыть быстрее или медленнее. Из ранее полученного квадратного уравнения с учетом . Выбирая при решении больший корень, находим максимально допустимую скорость , при которой ещё хватает топлива на заданной дистанции , и получаем соответствующее ей минимально возможное время движения . Большему корню соответствует максимально возможное время движения . Окончательно получаем
(Официальное решение ВсОШ)

При движении выполняется второй закон Ньютона для лодки

Сумма дает расстояние, а – изменение скорости.
Тогда для первого и второго случаев

Пусть поперек реки направлена ось , а ось по течению реки. Скорость вдоль оси одинакова для наблюдателей на берегу и на воде, а скорость вдоль оси отличается на величину скорости течения реки.

За время диск, двигаясь с такой скоростью вдоль оси , сместится на расстояние

А ширина реки , следовательно, скорость диска падает из-за сопротивления воды. Перейдем в систему отсчета течения. Пусть скорость диска в этой системе отсчета равна . Второй закон Ньютона для диска, запишем в виде

В проекциях на оси

Влияние сопротивления воды обозначим как , тогда

Векторы скоростей по отношению к берегу и к воде связаны теоремой сложения скоростей

С учетом ,

Тогда перемещение за время

Для наблюдателя на плоту диск переместился из точки в точку . По отношению к берегу диск переместился, с учетом течения реки, из точки в точку . Из рисунка видно, что

При движении по вертикали вверх выполняется второй закон Ньютона

а в обратном направлении

Суммируя по всем уравнения (1) и (2), получим

где – время подъема тела, – время его падения на землю. Из (1’) и (2’) имеем

откуда

Как вытекает из условия задачи, сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала по сравнению с силой тяжести. Поэтому при вычислении работы силы сопротивления в первом приближении можно считать, что скорость тела на высоте равна . Следовательно, сила сопротивления зависит от высоты следующим образом:

где – коэффициент пропорциональности.
Потеря кинетической энергии равна удвоенной работе сил сопротивления воздуха на участке от высоты 0 до высоты : .

Разобьем участок на большое число маленьких участков длиной точками Тогда

Следовательно, .
Таким образом, при уменьшении начальной скорости в 2 раза потери энергии уменьшатся в раз, а начальная энергия в 4 раза. Следовательно, при начальной скорости тело потеряет энергию , где – начальная энергия, – численный коэффициент.

В верхней точке траектории на тело действуют сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха , направленная горизонтально (см рисунок). Поэтому из второго закона Ньютона для данного тела

имеем

где – ускорение тела в этой точке. Отсюда находим

При движении вверх тело под действием ветра смещается по горизонтали вдоль оси (см. рис.).

Причем его движение описывается уравнением

При движении по вертикали вверх выполняется уравнение

а в обратном направлении

Суммируя по всем уравнения (1), (2) и (3), получим

где – время подъема тела, – время его падения на землю, – начальная скорость тела, а и – горизонтальная и вертикальная проекции конечной скорости. Из (1’), (2’) и (3’) имеем

а из (1’) соответственно

Работа силы трения равна изменению кинетической энергии тела

Найдем единицы измерения каждой величины, входящей в уравнение

Тогда

Тогда получаем систему уравнений

Тогда по второму закон Ньютона при установившейся скорости

В любой момент движения ускорение лодки, согласно второму закону Ньютона, равно , где -скорость лодки в этот момент. Это пример движения с переменным ускорением (чем меньше скорость, тем медленнее она уменьшается), при котором в случае идеального выполнения условий задачи лодка будет двигаться бесконечно долго (хотя и очень медленно в конце). Из этого. правда, не следует, что тормозной путь будет бесконечным.

Умножим обе части предыдущего уравнения на небольшой промежуток времени , за который изменениями и можно пренебречь:

Теперь заметим, что это приращение скорости за время , а - приращение пути за это же время. Так как момент времени был выбран совершенно произвольно, можно сделать вывод, что для того чтобы скорость изменилась на лодка должна пройти путь

(минус в выражении объясняется тем, что отрицательно). Из условия ясно, что за достаточно большое время скорость лодки уменьшается от начального значения практически до нуля. Тогда весь пройденный путь будет равен

Запишем второй закон Ньютона для лодки:

Для произвольного -того момента уравнение будет выглядеть так:

где произведение , следовательно суммируя по всем уравнение:

Получим:

Запишем второй закон Ньютона для шарика в проекции на ось (ось направлена вниз):

Для произвольного -того момента уравнение будет выглядеть так:

где произведение , следовательно суммируя по всем уравнение:

Получим:

Так как ускорение – это , то воспользуемся геометрическом смыслом производной функции в точке, а именно найдем тангенс угла наклона графика в точке :

Далее поймем какие силы действуют на автомобиль: сила тяги и сила сопротивления, причем они направлены в разные стороны. Запишем это математически:

(1)

Остается лишь найти коэффициент пропорциональности . Его можно найти из графика: в конце разгона автомобиль имеет установившуюся скорость, а значит . Запишем 2 закон Ньютона в момент конца разгона.

Подставим полученное выражение в (1).

(2)

Чтобы ответить на финальный вопрос задачи вспомним, что . А значит:

(3)

1. Тангенс угла броска является отношением проекций начальной скорости броска:

Выразим проекции наччальной скорости:

Тогда:

2. Связь модуля начальной скорости и её проекций:

3. Пусть – скорость ветра. Тогда скорость мяча относительно ветра:

Сила сопротивления пропорциональна относительной скорости:

По второму закону Ньютона:

Заметим, что – постоянный вектор. Обозначим его за . По модулю он равен:

Синус угла броска можем получить из тангенса:

Чтобы мяч вернулся в начальную точку и должны быть направлены друг против друга. Домножая обе части уравнения на , получим:

Просуммируем выражение: т.к. итоговое перемещение равно нулю сумма , сумма , а сумма . Итого:

Спроецируем на направление начальной скорости:

Отсюда:

Способ 1

1. Запишем закон сохранения импульса для системы «лодка—человек»

После прыжка человек и лодка движутся как единое целое с некоторой скоростью . Для удобства введем общую массу системы:

2. Посмотрим на движение лодки и человека в произвольный момент времени Запишем 2ой закон Ньютона для системы:

Лодка не совершает вертикального движения, из этого следует, что силы и компенсируют друг друга (их векторная сумма равна нулю).

Из этого непосредственно следует:

Перед нами дифференциальное уравнение первого порядка по Давайте попробуем избежать необходимости решать дифференциальное уравнение и перепишем его в следующем виде:

Теперь просто сократим небольшое приращение времени и вычислим сумму малых приращений и .

В итоге получаем:

Что особенно примечательно в нашем решении? Дифференциальное уравнение, с которого мы стартовали, описывает конкретное состояние системы в конкретный момент времени. Нам удалось «просуммировать» наше преобразованное уравнение по всем таким состояниям и получить закон, описывающий вообще весь процесс движения системы.

3. Перейдем от векторной записи к скалярной и получим окончательный ответ:

Способ 2

Тут мы стартуем от дифф. уравнения. Будем решать его, используя инструменты высшей математики.

Для начала перепишем уравнение в проекции на ось :

Разделим переменные и получим уравнение, которое можем сразу проинтегрировать:

Откуда взялась буква в определенном интеграле? Все очень просто: нам нужно получить функциональную зависимость Поэтому левую часть равенства мы интегрируем от начального момента времени до просто произвольного моента времени . Но буква уже стоит в дифференциале, по которому мы интегрируем, поэтому введем новую переменную имеющую тот же смысл, что и .

Нам удалось получить искомую зависимость:

Остался последний шаг:

Время течет бесконечно:) В связи с этим нужно устремить один из пределов интегрирования к бесконечности. Перед нами снова табличный интеграл, получаем в итоге: