8.04 Прочие прототипы

Будем выбирать цифры этого числа последовательно, начиная с разряда сотен. Туда подходит 9 цифр: любая цифра, кроме 0. После этого на второе место мы можем выбрать 9 цифр: любая цифра, кроме той, что стоит на первом месте. Наконец, цифру единиц мы можем выбрать 8 способами: любая цифра, кроме тех двух, что уже стоят в разряде сотен и десятков. Эти способы выбрать очередную цифру перемножаются, так как количество способов выбрать очередную цифру не зависит от того, какие цифры мы уже выбрали ранее: 9 9 8 = 648.

Пронумеруем дни и по очереди выберем патрулирующего территорию. В первый день можно выбрать любого из пятерых. Во второй день уже любого из четверых, так как нельзя выбирать того, кто был выбран в первый день. В третий день остается выбор из трех, в четвертый — из двух мстителей, и наконец в последний день остается единственный мститель, еще не дежуривший. Полученные способы необходимо перемножить, так как выбор последовательный, и количество вариантов выбрать очередного дежурного не зависит от того, кого мы выбрали ранее. Получается 5 4 3 2 1 = 5! = 120.

По условию сказано, что в графике дежурств Тор должен идти после Халка. Давайте склеим их в одного супер-мстителя, и будем расставлять уже не пятерых Мстителей на 5 мест, а четырех Мстителей на 4 места. Это можно сделать 4! = 4321 = 24 способами, так как на первое можно выбрать любого из четырех (включая ХалкоТора), на второе место — любого из трех (исключая того, кто был выбран в первый день), на третье — любого из двух, и на четвертое только оставшегося Мстителя. Выбор последовательный и независимый, значит, работает правило умножения.

Итак, мы получили, что упорядоченных четверок Мстителей, один из которых ХалкоТор, 24 штуки. Чтобы из каждой такой четверки получить упорядоченную пятерку, в которой Тор идет после Халка, нам достаточно их расклеить и поставить друг за другом. Это можно сделать единственным способом для каждой четверки. Значит, из каждой подходящей четверки мы получаем ровно одну пятерку, в которой Тор идет после Халка. Таким образом, графиков, в которых каждый дежурит по разу и Тор дежурит на следующий день после Халка, 24 штуки.

Заметим, что все графики, то есть 120 штук, можно разбить на две группы: те, в которых Тор дежурит после Халка, и те, в которых Тор не дежурит после Халка. В предыдущей задаче мы посчитали, что графиков, в которых Тор дежурит после Халка, 4! = 24 штуки. Значит, графиков, в которых Тор не дежурит после Халка, 120 - 24 = 96 штук.

Пронумеруем дни и по очереди выберем патрулирующего территорию. В первый день можно выбрать любого из пятерых. Во второй день — снова любого из пятерых, и так далее. Получается, что в каждый день мы выбираем любого из пятерых Мстителей. Выбор последовательный, и количество способов выбрать очередного дежурного не зависит от того, кого мы выбирали ранее. Значит, эти пять пятерок нужно перемножить. Получается графиков.

Пронумеруем дни и будем по очереди выбирать патрулирующего территорию. Для каждого дня у нас есть 4 варианта выбрать мстителя, так как из пятерых нельзя выбирать Железного Человека. Значит, всего вариантов , так как выбор последовательный и независимый.

В предыдущей задаче мы уже считали, сколько получится графиков, если одного из Мстителей освободить от дежурств. Все графики делятся на два вида: в которых Капитан Америка дежурит, и те, в которых Капитан Америка не дежурит. Мы можем получить количество графиков, в которых Капитан Америка дежурит, вычтя из общего количества графиков те графики, в которых он не дежурит.

Всего графиков , как мы уже посчитали в первой задаче. Графиков, в которых Капитан Америка не дежурит, (на каждое место претендует один из четырех Мстителей), как мы посчитали в предыдущей задаче. Значит, осталось вычесть из всех графиков те, в которых Капитан Америка не дежурит: = 3125 - 1024 = 2101 график, в которых Капитан Америка дежурит.

Раз Капитан Америка стоит сразу после Тора, склеим их, и будем расставлять пятерых мстителей, а не шестерых. На первое место можно поставить любого из пятерых, на второе — любого из четверых, и так далее. Так как количество способов выбрать следующего Мстителя в очереди не зависит от того, кого мы выбрали ранее, работает правило умножения. Получаем 5 4 3 2 1 = 5! = 120 очередей из пятерых Мстителей, включая склеенных Тора и Капитана Америку.

Теперь нам нужно их расклеить. Это можно сделать единственным способом, так как по условию сказано, что Капитан Америка стоит сразу за Тором. Таким образом, каждая пятерка, посчитанная нами, соответствует ровно одной расстановке шестерых мстителей в очередь так, чтобы Капитан Америка стоял сразу за Тором. Получаем 120 подходящих под условие очередей.

Так как цифры 4 и 5 стоят рядом, будем рассматривать их как одну “цифру”, обозначив ее через X. Тогда нам нужно составить уже не 10-значное число, а 9-значное, при этом цифр тоже не 10, а 9. Будем писать цифры числа слева направо. Первую цифру числа можно выбрать 8 способами, так как подходят все цифры, в том числе X, кроме нуля. Вторую цифру можно выбрать снова 8 способами, так как подходят все цифры, кроме той, что поставлена на первое место. Третью цифру уже можно выбрать 7 способами, так как не подходят две цифры, стоящие на первом и втором месте. Дальше количество способов продолжает уменьшаться с каждым шагом на 1. Так как выбор последовательный и количество способов не зависит от того, что было выбрано ранее, работает правило умножения. Получается произведение 8 8 7 6 ... 1 = 8 8!

Далее, нам нужно расклеить цифру X. Это можно сделать всегда двумя способами: как 45 и как 54. Значит, каждому посчитанному 9-значному числу соответствуют ровно два 10-значных, в которых цифры 4 и 5 стоят рядом. Итого получаем 8 8! 2 чисел.