18.28 Симметрия

Данная система симметрична относительно замены на а на Следовательно, если она имеет решение то она также имеет и решение Решение, не имеющее себе пару, это решение вида (то есть решение, у которого ). Следовательно, если система имеет единственное решение, то у этого решения Найдем при которых у системы есть ровно одно решение вида

Полученное уравнение должно иметь одно решение. Заметим, что при это уравнение является линейным и равносильно и действительно имеет единственное решение. Следовательно, нам подходит.

При это уравнение квадратное, следовательно, оно имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю:

Следовательно, нам нужно проверить два найденных значения параметра.

Если система принимает вид

Эта система имеет единственное решение. Следовательно, — первая часть ответа.

Если система имеет вид

Сложим эти два уравнения. Тогда мы получим уравнение, множество решений которого содержит множество решений данной системы. Полученное уравнение равносильно

Заметим, что эта пара чисел также является и решением системы. Следовательно, при система также имете единственное решение.

В итоге ответ