Тема 18. Задачи с параметром

18.28 Симметрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31806

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

({ (ay− ax+ 2)(y− x+ 3a)= 0 ( |xy|= a

имеет ровно шесть решений.

Показать ответ и решение

При $a≤ 0$ система не будет иметь 6 решений, следовательно, рассмотрим $a> 0$ . Сделаем также замену $− y = t$ , при которой число решений системы не изменится. Тогда из первого уравнения получим $x+ t=3a$ или $2 x+ t= a$ . Из второго уравнения $xt =±a$ . Заметим, что если имеется решение $(x;t)$ , то имеется также решение $(t;x)$ , которое отлично от первого при $x⁄= t$ . Решения получаются из следующих четырех систем:

⌊ ({ | x+ t= 3a ||| (xt= a || ( ||| {x+ t= 3a || (xt= −a ||| || ({x+ t= 2 ||| ( a || xt= a ||| ( || {x+ t= 2a ⌈ (xt= −a

При $2 3a= a$ 1-я и 3-я системы одинаковы, 2-я и 4-я также одинаковы. Следовательно, так как каждая система имеет максимум 2 решения, суммарно мы получим максимум 4 решения. Нам это не подходит. Следовательно, $∘-2 a⁄= 3,a >0$ . При этих $a$ ни у каких двух систем нет ни одного общего решения.

Система подобного вида имеет решения тогда и только тогда, когда квадратное уравнение $α2− (x +t)α +xt= 0$ имеет решения (по обратной теореме Виета).

Выпишем дискриминанты для 1-й и 2-й систем, для 3-й и 4-й систем:

3 D1,2 = a(9a∓ 4) и D3,4 = 4(1a∓2a-)

При $a> 0$ имеем: $D2 =a(9a+4)> 0$ , $3 D4 = 4(1+aa2-)> 0$ , причем заметим, что эти системы не имеют общий решений. Следовательно, мы уже имеем 4 решения. Нужно еще два. Значит нам подходят такие варианты: $D1 > 0,D3 < 0$ ; $D1 < 0,D3 > 0$ ; $D1 = D3 = 0$ . Третий случай невозможен, а первые два задаются условием:

( 4) D1⋅D3 <0 ⇒ a∈ 0;9 ∪ (1;+∞ )

Ответ:

$a ∈(0;4)∪(1;+∞ ) 9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33287

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

({ 4 a(y +3)= x+ 3(1− |y|) (|x|+ |y|= 3

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Система симметрична относительно замены $y$ на $− y$ , следовательно, если она имеет решение $(x;y ), 0 0$ она также имеет решение $(x0;− y0)$ . Единственное решение, не имеющее себе пару — это решение $(x0;0)$ . Таким образом, система имеет единственное решение, если этим решением является $(x0;0)$ .

1.

Проверим, при каких $a$ система имеет решение с $y0 = 0$ .

⌊({ ( || x= 3 { 3a =x +3 ⇔ ||(( a= 2 ( |x|= 3 ||⌈{ x= −3 ( a= 0

Следовательно, при $a= 0$ система имеет решение $(− 3;0)$ , а при $a =2$ — решение $(3;0)$ .

2.

Проверим, при каких $a$ из найденных найденное решение — единственно.

2.1.

Пусть $a= 0$ . Тогда система имеет вид

( {x= 3(|y|− 1) x 3 (|x|+ |y|= 3 ⇒ |x|+3 = 2 ⇒ x =− 3;2

Видим, что система имеет два решения, следовательно, $a= 0$ нам не подходит.

2.2.

Пусть $a= 2$ . Тогда система имеет вид

( {2(y4 +3)= x+ 3(1− |y|) (|x|+ |y|= 3

Из второго уравнения следует, что $|x|≤3$ и $|y|≤3$ , следовательно, левая часть первого равенства $2y4+ 6≥ 6$ , а правая часть $x+ 3− 3|y|≤3 +3− 0= 6$ . Таким образом, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равенства равны $6$ .

( ( {2y4+ 6= 6 {y =0 (x+ 3− 3|y|= 6 ⇔ (x = 3

Видим, что $a= 2$ нам подходит.

Ответ $a = 2.$

Ответ:

$a ∈{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31809

Найдите все значения параметра $a ∈(0;π)$ , при каждом из которых система

(| 2 2 2 |{x + y − 4(x+ y)sin a+8 sin a= 2sina− 1 ||(x + y= 2sina+ 4sin2a y x

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что если в каждом уравнении поменять местами $x$ и $y$ , то уравнения останутся прежними. Следовательно, система симметрична относительно перемены местами $x$ и $y$ . Значит, если у системы есть решение $(x0;y0)$ , то у нее есть и решение $(y0;x0)$ . Пара, не дающая новую пару решений, имеет вид $(x;x)$ , то есть имеет равные координаты $x$ и $y$ . Следовательно, если среди решений системы есть решение вида $(x;x)$ , то решений будет нечетно, если же такой пары нет — решений будет четно.

Значит, нам нужно, чтобы такая пара была решением системы.

1.

Определим, при каких $sina =b∈ (0;1]$ (так как $a∈ (0;π)$ по условию) система имеет решение вида $(x;x)$ :

(| 2 2 ( ||{ 2x − 8bx+ 8b =2b− 1 { x= 1 || 2= 2b+4b2 ⇔ ( b= 1 |( b∈ (0;1] 2

Это решение $(1;1)$ , имеющееся у системы при $b= 1 2$ .

2.

Определим, имеет ли система еще решения при $b= 12$ . Причем заметим, что если мы определим хотя бы одно решение, отличное от $(1;1)$ , то найденное значение $b$ нам не подойдет. Если же мы докажем, что других решений нет, то $b = 12$ нам подойдет.

система при $b= 1 2$ имеет вид

( |{ x2+ y2 − 2(x+y)+ 2= 0 |( x + y = 2 y x

Второе равенство представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел. Так как такая сумма по модулю не меньше $2$ и равна $2$ , если оба числа равны $1$ , то из второго уравнения следует, что $xy = 1$ , откуда $x = y$ . Следовательно, других решений быть не может и $b= 12$ нам подходит.

Если $b= 1 2$ , то $sina = 1 2$ , откуда на промежутке $(0;π)$ получаем углы $a = π ;5π. 6 6$

Ответ:

$a ∈{π;5π} 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31814

Найдите все значения параметра $a ∈[0;π] 2$ , при каждом из которых система

({ √ - √- |x√+ 3y|+ |y −√-3x|= 2sina (( 3x+ y)2+ ( 3y− x)2 = 4cosa

имеет ровно четыре различных решения.

Показать ответ и решение

Заметим, что левые части равенств неотрицательны, следовательно, и правые должны быть неотрицательны, что выполняется для $[ π] a ∈ 0;2$ .

Преобразуем второе уравнение:

√ - 2 √ - 2 ( 3x +y) + ( 3y − x) = 4cosa ⇔ (√3x#+y)2−#4√3xy#+(√3y−#x)2+4√3xy = 4cosa ⇔ ############### ############### (√3x − y)2+ (√3y +x)2 = 4cosa

С помощью таких действий мы добились того, что второе уравнение зависит от тех же двух выражений с $x,y$ , что и первое уравнение. Система примет вид

( ( {|√3x− y|+ |√3y +x|= 2sina { |m |+ |n|= 2sina ((√3x− y)2 +(√3y+ x)2 =4cosa ⇒ ( m2+ n2 = 4cosa

где $m = √3x− y$ , $n= √3y+ x$ , причем существует биекция между множеством, состоящим из решений $(m;n)$ , и множеством, состоящим из решений $(x;y)$ .

Докажем это утверждение. Равенства $m = √3x− y$ , $n= √3y+ x$ задают в плоскости $xOy$ прямые $l$ и $p$ соответственно, имеющие фиксированное неравное отношение коэффициентов перед $x$ и $y$ . Следовательно, эти прямые не совпадают и не параллельны, то есть пересекаются, значит каждому решению $(m; n)$ соответствует ровно одно решение $(x;y)$ . Заметим также, что для двух различных решений $(m ;n) 1 1$ (прямые $l,p 1 1$ ) и $(m ;n ) 2 2$ (прямые $l,p 2 2$ ) получим различные решения для переменных $x$ и $y$ . Действительно, так как решения для $m$ и $n$ различны, то без ограничения общности можно считать, что как минимум $m1 ⁄= m2$ , откуда следует, что прямые $l1$ и $l2$ параллельны. Следовательно, точки $O(x1;y1)= l1∩ p1$ и $Q(x2;y2)=l2∩ p2$ лежат на параллельных прямых $l1$ и $l2$ , то есть не могут совпадать.

Значит, существование четырех различных решений для $x,y$ равносильно существованию четырех различных решений для $m, n$ . Система

({|m |+|n|=2sina ( 2 2 m +n = 4cosa

симметрична относительно $m ←→ − m$ , относительно $n←→ − n$ и относительно $m ←→ n$ . Поэтому любое решение $(m;n)$ попадет в одну из трех групп:

I группа

содержит решение $(m;n)$ с условием $m ⁄= n$ и $m,n >0$ и 7 его “дубликатов”, следовательно, число решений, входящих в эту группу, равно $8α1$ , где $α1 ∈ℕ ∪{0}$
восьмерки решений имеют вид: ${(±m;±n),(±n;±m )}$ ;

II группа

содержит решение $(m; n)$ , у которого ровно одна из двух координат равна $0$ , и 3 его “дубликата”, и решение с условием $m = n> 0$ и 3 его “дубликата”, следовательно, число решений, входящих в эту группу, равно $4α2$ , где $α2 ∈ ℕ∪ {0}$
четверки решений имеют вид: ${(0;±n ),(±n;0)}$ или вид ${(±m;±m )}$ ;

III группа

состоит из единственного решения $(0;0;0)$ .

Итог: число решений системы равно $8α + 4α + 1⋅α 1 2 3$ , где $α ,α ∈ℕ ∪{0},α ∈{0;1} 1 2 3$ . Чтобы $8α + 4α +1 ⋅α =4 1 2 3$ , нужно, чтобы $α = 0,α = 1,α = 0 1 2 3$ . Значит необходимо, чтобы система имела ровно 4 решения из II группы. Далее в вычислениях естественно будем учитывать, что $0 ≤a ≤ π 2$ .

1 случай.

Без ограничения общности можно считать, что именно $m = 0$ . Тогда получим

( √- √- {|n|=2 sina ⇒ cosa= -5-− 1 ⇒ a= arccos-5−-1 (n2 =4cosa 2 2

Имеем решения:
$(0;∘2-√5−-2)$ ,
$(0;− ∘2√5-− 2)$ ,
$(∘2√5-− 2;0)$ ,
$(−∘2-√5−-2;0)$ .

2 случай.

Если $m = n$ , то получим

({ 2|n|= 2sina ⇒ cosa= √2-− 1 ⇒ a= arccos(√2− 1) (2n2 = 4cosa

Имеем решения $∘ ------∘ ------ ( 2√2− 2; 2√2− 2)$ ,
$∘ ------∘ ------ (− 2√2− 2; 2√2− 2)$ ,
$------ ------ (−∘ 2√2− 2;− ∘2√2− 2)$ ,
$(∘2√2-− 2;−∘2-√2−-2)$ .

Ответ:

$a =arccos(√2-− 1);arccos(√5−1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#52392

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( |{ x2− 2x+ |y|− 15= 0 |( x2+ (y− a)(y+ a)= 2(x− 12)

имеет ровно 6 решений.

Показать ответ и решение

Систему можно переписать в виде

( { (x − 1)2+ |y|=16 ( 2 2 2 (x − 1) + y = a

После замены $t= x− 1$ система примет вид

( {t2+ |y|= 16 (t2+ y2 = a2

Заметим, что так как замена линейная, то новая система также должна иметь 6 решений $(t;y).$

Система симметрична относительно замены $t$ на $− t$ и $y$ на $− y.$ Следовательно, если у системы есть решение $(t;y),$ $t⁄= 0,$ $y ⁄= 0,$ то у нее также есть и решения $(−t;y),$ $(−t;−y)$ и $(t;− y).$ Если у системы есть решение $(t;0),$ $t⁄= 0,$ то у нее также есть решение $(−t;0).$ Если есть решение $(0;y),$ $y ⁄=0,$ то у нее также есть решение $(0;−y).$

Значит, система будет иметь 6 решений в одном из двух случаев:

$∙$ если система имеет одно решение $(t;y),$ где $t,y ⁄= 0,$ и одно решение $(t;y),$ где $t =0$ или $y = 0$ (но не одновременно $t= 0= y!$ );

$∙$ если система имеет три решения $(t;y),$ в каждом из которых ровно одна из координат равна нулю.

Таким образом, в любом случае система должна иметь хотя бы одно решение, в котором ровно одна из координат равна нулю. Проверим, при каких $a$ это возможно.

Пусть $t= 0.$ Тогда

( {|y|= 16 ( 2 2 ⇒ a= ±16. y =a

Если $y = 0,$ то

({ 2 t = 16 ⇒ a= ±4. ( t2 = a2

Теперь необходимо проверить, при каких $a$ из найденных действительно система имеет такие решения, как нам необходимо, а при каких — нет.

Пусть $a = ±4.$ Тогда система примет вид

( ⌊ || y = 0 ({ 2 ||||{ || t + |y|= 16 ⇔ |⌈y = −1 (t2+ y2 = 16 |||| y = 1 ||( 2 t = 16− |y|

Эта система имеет 6 ррешений: $(4;0),$ $(−4;0),$ $√-- ( 15;1),$ $√ -- ( 15;−1),$ $√ -- (− 15;1)$ и $√ -- (− 15;− 1).$ Следовательно, $a± 4$ нам подходит.

Пусть $a = ±16.$ Тогда система примет вид

( ( (| ⌊ {t2+ |y|= 16 {y2− |y|− 15⋅16 =0 ||{ ⌈ y = −16 ( 2 2 2 ⇔ ( 2 ⇔ | y = 16 t + y = 16 t = 16− |y| ||( 2 t = 16− |y|

Эта система имеет два решения $(0;16)$ и $(0;−16).$ Следовательно, $a= ±16$ нам не подходит.

В итоге ответ

a∈ {−4;4}.

Ответ:

$a ∈{±4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#52393

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

(|{22−2y2 +(|x|− 2)2 = 8 |(21−y2 + x= a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что система симметрична относительно замены $y$ на $− y.$ Следовательно, если она имеет единственное решение, то этим решением будет $(x;0).$ Найдем, при каких $a$ у системы есть решение с $y = 0:$

(||⌊ x= −4 ( ( 1−02)2 2 |||||| { 2 + (|x|− 2) = 8 ⇔ {|⌈ x= 0 ⇒ a= −2;2;6. ( 21−02 + x =a ||| x= 4 |||( x = a− 2

Отберем среди найденных значений $a$ те, при которых решение $(x;0)$ — действительно единственное.

1.: Пусть $a =− 2.$ Тогда система примет вид $({(21−y2)2 +(|x|− 2)2 = 8 ({ x2+ 2x− 2|x|= 0 2 ⇔ 2 (21−y + x= −2 ( 21−y = − (x + 2)$
Так как $1 − y2 ∈[0;1],$ то $1−y2 2 ∈ [1;2],$ следовательно, $− (x+ 2)∈ [1;2],$ откуда $x ∈[−4;−3].$ Из первого уравнения системы находим, что $x= −4;0.$ Корень $x= 0$ нам не подходит. Следовательно, система имеет единственное решение $(− 4;0).$ Значит, $a= − 2$ нам подходит.
2.: Пусть $a =2.$ Тогда система примет вид $({( 1−y2)2 2 ({ 2 2 2 +(|x|− 2) = 8 ⇔ x −22x− 2|x|= 0 (21−y + x= 2 ( 21−y = − (x − 2)$
Так как $21−y2 ∈[1;2],$ следовательно, $− (x− 2)∈ [1;2],$ откуда $x∈ [0;1].$ Из первого уравнения системы находим, что $x = 0;4.$ Корень $x= 4$ нам не подходит. Следовательно, система имеет единственное решение $(0;0).$ Значит, $a= 2$ нам подходит.
3.: Пусть $a =6.$ Тогда система примет вид $(( ) ( { 21−y2 2+(|x|− 2)2 = 8 { x2− 2x− 2|x|= 0 ( 1−y2 ⇔ ( 1−y2 2 + x= 6 2 = − (x − 6)$
Так как $21−y2 ∈[1;2],$ следовательно, $− (x− 6)∈ [1;2],$ откуда $x∈ [4;5].$ Из первого уравнения системы находим, что $x = 4.$ Следовательно, система имеет единственное решение $(4;0).$ Значит, $a= 6$ нам подходит.

Следовательно, ответ

a∈ {−2;2;6}.

Ответ:

$a ∈{±2;6}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#52394

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

| | ||x2+-ax+-1||≥ 3 | x2+ x+ 1|

имеет единственное решение. Найдите это решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 0$ не является решением неравенства, так как неравенство примет вид $|1|≥ 3.$ Следовательно, неравенство можно привести к виду

|||x+-1x +-a||| |x+ 1x + 1|≥ 3.

Заметим, что неравенство симметрично относительно замены $x$ на $1x.$ Следовательно, неравенство будет иметь единственное решение, если этим решением будет один из корней уравнения $1 x= x,$ то есть один из $x = −1$ или $x = 1.$ Причем, например, если $x= − 1$ — решение неравенства, то при всех $x ⁄= −1$ должно быть выполнено $||x+1+a|| |x+x1x+1| <3.$ Отсюда следует, в силу непрерывности левой части в точке $x= −1,$ что при $x =− 1$ значение выражения $| | ||x+x1+1a || x+x+1$ должно быть равно $3.$ Аналогично для $x =1.$

Подставим $x = −1:$

| | ||2+-a|| |2+ 1|= 3 ⇔ a = −11;7.

Подставим $x = 1:$

||−2 +a|| ||−2-+1|| =3 ⇔ a= −1;5.

Проверим, при каких $a$ из найденных действительно при всех $x⁄= x0,$ где $x0$ — корень $| | ||x+-1x1+a||= 3 x+ x+1$ , значение левой части $< 3.$ Только эти $a$ нам подойдут.

Рассмотрим функцию $1 g(x)= x+ x.$ Она представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел, следовательно, принимает значения, по модулю не меньшие $2.$ Рассмотрим также функцию

| | f(g)= |||g+-a|||, g+ 1

определенную при $|g|≥ 2.$

1.

Пусть $a =− 11.$ Тогда имеем $f(g(1))= 3.$ Так как $g(1)= 2,$ то проверим, действительно ли при всех $g ⁄=2$ имеем $f(g)< 3.$ Найдем $f(− 2)= 13.$ Следовательно, необходимое нам неравенство не выполнено, значит. $a= −11$ нам не подходит.

2.

Пусть $a = 7.$ Тогда имеем $f(g(1))= 3.$ Аналогично найдем $f (− 2) =5.$ Следовательно, неравенство $f(g)< 3$ не выполнено при всех $g ⁄= 2.$ Значит, $a= 7$ нам также не подходит.

3.

Пусть $a= − 1.$ Тогда $f(g(−1))= 3,$ причем $g(−1)= −2.$ Тогда проверим, выполняется ли $f(g)< 3$ при всех $g ⁄= − 2.$ Имеем $f(2)= 13.$ Пока противоречий нет. Рассмотрим функцию $f$ подробнее:

|| 2 || f(g)= ||1− g+-1||.

Изобразим ее график. Это гипербола $− 2 g$ , сдвинутая на 1 влево и на 1 вверх, а затем та часть, что находится ниже оси абсцисс, отражена наверх относительно оси абсцисс. Напомним, что $f$ определена при $|g|≥ 2.$

$gy21323$

Видим, что действительно при всех $g ⁄= − 2$ имеем $f < 3.$ Следовательно, $a= −1$ нам подходит.

4.

Пусть $a= 5.$ Тогда $f(g(− 1))= 3,$ причем $g(− 1)= −2.$ Тогда проверим, выполняется ли $f(g)< 3$ при всех $g ⁄= − 2.$ Имеем $f(2)= 73.$ Пока противоречий нет. Рассмотрим функцию $f$ подробнее:

|| 4 || f(g)= ||1+ g+-1||.

Изобразим ее график. Это гипербола $4 g$ , сдвинутая на 1 влево и на 1 вверх, а затем та часть, что находится ниже оси абсцисс, отражена наверх относительно оси абсцисс. Напомним, что $f$ определена при $|g|≥ 2.$

$gy27323$

Видим, что действительно при всех $g ⁄= − 2$ имеем $f < 3.$ Следовательно, $a= 5$ нам подходит.

Следовательно, ответ

a∈ {−1;5}.

Решение неравенства при обоих найденных $a$ — это $x= −1.$

Ответ:

$a ∈{− 1;5} ⇒ x ∈{− 1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#54849

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( { 1− ∘|x−-1|= ∘7|y| ( 2 2 49y +x + 4a =2x − 1

имеет ровно четыре различных решения.

Показать ответ и решение

Систему можно переписать в виде

( { ∘|x−-1|+ ∘7|y|= 1 ( 2 2 |x − 1| + (7|y|) = −4a

Сделаем замену $x − 1= t,$ $7y = z.$ Так как замена по обеим неизвестным линейная, то новая система

( ∘ -- ∘ -- { |t|+ |z|= 1 ( 2 2 t +z =− 4a

также должна иметь ровно четыре различных решения.

Заметим, что система симметрична относительно замены $t$ на $− t,$ $z$ на $− z,$ и перемены местами неизвестных $t$ и $z.$

Это значит, что если система имеет решение $(t;z),$ где $t⁄= 0,$ $z ⁄= 0,$ то система имеет еще 7 решений: $(−t;z),$ $(− t;− z),$ $(t;−z),$ $(z;t),$ $(− z;t),$ $(−z;−t),$ $(z;− t).$ Если есть решение $(t;z),$ где $t= z,$ то есть решение $(t;t),$ то система имеет еще 3 решения: $(−t;t),$ $(−t;−t),$ $(t;−t).$ Если же система имеет решение $(t;0),$ то есть еще 1 решение $(0;t);$ если есть решение $(0;z),$ то есть еще 1 решение $(z;0).$

Следовательно, система будет иметь ровно четыре различных решения, если выполняется одно из следующих условий: она имеет

$∙$ одно решение $(t;t),$ где $t⁄= 0,$ дающее еще 3 решения;

$∙$ два решения вида $(t;0)$ или $(0;z),$ где $t⁄= 0$ и $z ⁄= 0,$ каждое из которых дает еще 1 решение.

1.: Пусть $t= z.$ Тогда система примет вид $({ ∘-- (|{ 1 2 |t|= 1 ⇔ |t|= 4 ( 2t2 = − 4a |(t2 = −2a$
Полученная система имеет решение, если
$− 2a= -1 ⇔ a = −-1. 16 32$
2.: Пусть $t= 0.$ Тогда система примет вид $( {∘ |z|= 1 ( 2 z =− 4a$
Эта система имеет решение, если
$1 −4a= 1 ⇔ a = −4.$
3.: Пусть $z =0.$ Тогда мы получим систему, аналогичную предыдущему случаю, только с переменной $t.$ Следовательно, здесь мы получим то же значение параметра $a = − 1. 4$

Теперь необходимо выполнить проверку: действительно ли при найденных значениях параметра выполняются наши условия.

Проверка значения $-1 a = −32.$

Система имеет вид

( |{ ∘ |t|+∘ |z|= 1 |( t2 +z2 = 1 8

Сделаем замену $∘ |t|= cos2φ,$ $∘ |z|= sin2φ,$ $[ ] φ∈ 0; π-. 2$ Тогда первое уравнение системы выполняется для всех $φ.$ Следовательно, из системы получается одно уравнение:

cos8φ + sin8φ = 1 ⇔ 8 1 (cos4φ+ sin4φ )2− 2sin4φcos4 φ= 8 ⇔ 2 2 2 2 2 2 4 4 1 -| 2 2 ((cos φ+ sin φ) − 2sin φ cos φ) − 2sin φ cosφ = 8, -p = sin φcos φ ⇒ 2 2 1 (1 − 2p) − 2p = 8 ⇔ 16p2 +32p+ 7 =0 ⇒ 1 p= 4 (второй корень отрицательный, то есть нам не подходит) ⇒ 2 2 1 sin φ cos φ = 4 ⇔ sin22φ = 1 ⇔ sin2φ = ±1 ⇔ φ= π-+ πn,n ∈ ℤ. 4 2

Так как $[ π] φ ∈ 0;2 ,$ то $π- φ = 4.$

Следовательно, мы получаем, что $∘ |t|= ∘ |z|= 1, 2$ откуда $|t|=|z|= 1. 4$

То есть система имеет четыре решения: $( 1 1) 4;4 ,$ $( 1 1) − 4;4 ,$ $( 1 1) − 4;− 4 ,$ $( ) 1 1 4;− 4 .$ Значит, $-1 a =− 32$ нам подходит.

Проверка значения $a = − 1. 4$

Система примет вид

({ ∘ -- ∘ -- |t|+ |z|= 1 ( t2 +z2 =1

Поступим аналогично предыдущей проверке. Получим уравнение

8 8 cos φ+ sin φ = 1 ⇒ p(p+ 2)= 0 ⇒ p= 0 (второй корень отрицательный, то есть нам не подходит) ⇒ sin2φ= 0 ⇔ φ = πn,n ∈ℤ. 2

Тогда получаем $φ = 0$ или $π φ = 2.$ Откуда получаются 4 решения: $(1;0),$ $(−1;0),$ $(0;1),$ $(0;− 1).$ Значит, $a =− 1 4$ нам также подходит.

Следовательно, итоговый ответ:

{ 1 1 } a ∈ −4;− 32 .

Ответ:

$a ∈{− 1;−-1} 4 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#54850

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( ||x7+ (4− x)7 = 2y7 |{ 2 2 2 2 ||(x− 2) + (y − 2) + z + a = 9 |(6yz2− (a− 3)y2z+ 6= 2a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Пусть $x= 2+ t,$ тогда $4− x =2 − t.$ Следовательно, система примет вид

(| 7 7 7 ||{ (2 +t) + (2 − t) = 2y | t2+ (y− 2)2 +z2+ a2 = 9 ||( 6yz2− (a− 3)y2z +6 = 2a

Так как мы совершили линейную замену, то полученная система также должна иметь ровно одно решение.

Заметим, что полученная система симметрична относительно замены $t$ на $− t.$ Следовательно, если система имеет решение $(t;y;z),$ где $t⁄= 0,$ то она также имеет второе решение $(−t;y;z).$ Значит, единственным решением системы может быть только решение вида $(0;y;z).$

Найдем те $a,$ при которых решениями системы будут те тройки $(t;y;z),$ в которых $t= 0.$

Если $t =0,$ то система примет вид

(| 7 7 (| ||{2 ⋅2 = 2y ||{ y = 2 |(y− 2)2+ z2+a2 = 9 ⇔ | z2+ a2 = 9 ||( 2 2 ||( 2 6yz − (a− 3)y z+ 6= 2a 6z − 2(a − 3)z− (a− 3)= 0

Из второго уравнения выразим $z2 = 9− a2$ и подставим в третье уравнение:

⌊( ⌊ ( { a− 3= 0 {a = 3 ||( || ( 6(a− 3)(a+3)+2(a−3)z+ (a− 3)= 0 ⇔ |⌈ z ∈ ℝ ⇔ |⌈ z ∈ℝ 6(a+ 3)+ 2z+ 1= 0 z = − 6a-+19 2

Тогда при $a= 3$ получаем

({ z ∈ ℝ ⇔ z = 0. ( z2 = 9− a2 = 0

Если $z = − 6a+219,$ то получаем

2 (6a-+-19)-+ a2 = 9 ⇔ 40a2+ 228a+ 325= 0 4

Дискриминант этого уравнения отрицательный, следовательно, оно не имеет решений.

Значит, единственное значение $a,$ которое нужно проверить, это $a= 3.$

Проверка

Пусть $a = 3.$ Тогда система примет вид

(| 7 7 7 (| ||{ (2 +t) + (2 − t) = 2y ||{t= 0 | t2+ (y− 2)2 +z2 =0 ⇔ |y =2 ||( 6yz2 =0 ||(z =0

Следовательно, система действительно имеет единственное решение при $a =3.$ Значит, ответ:

a∈ {3}.

Ответ:

$a ∈{3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#54851

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

(|{3x+ 31x = (a2 − 1)2+ y2+ 6 |(|y|z4+ 2z2− 4a2z +a + 3= 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Данная система симметрична относительно замены $y$ на $− y,$ а также относительно замены $x$ на $1 x.$ Следовательно, если система имеет решение $(x;y;z),$ то она также имеет 3 решения $(x;−y;z),$ $(1 ) x;y;z$ и $(1 ) x;−y;z .$ Эти решения будут совпадать (и тогда решение может быть единственным), если $y = −y$ и $x = 1x.$ То есть либо при $x = 1$ и $y = 0,$ либо при $x =− 1$ и $y = 0.$ Проверим оба этих случая.

1.: Пусть $x =1$ и $y = 0.$ Тогда система имеет вид: $({ 6= (a2− 1)2+ 6 ({a =±1 ⇔ ⇔ ( 2z2− 4a2z+ a+ 3 =0 (2z2− 4a2z + a+ 3= 0 ⌊ ({ | a =1 ( || (2z2− 4z+ 4= 0 { a= − 1 ||| ({ ⇔ ( ⌈ a =− 1 z = 1 (2z2− 4z+ 2= 0$
2.: Пусть $x =− 1$ и $y = 0.$ Тогда система примет вид $( {2 = (a2 − 1)2+ 6 (3 2 2 2z − 4az + a+ 3= 0$
Первое уравнение системы не имеет решений, так как правая часть $≥ 6.$ Следовательно, в этом случае мы не получаем ни одного значения параметра $a.$

Таким образом, нам нужно проверить значение $a = −1.$

Проверка

Пусть $a = −1.$ Тогда система примет вид

({ x 1x 2 ({ x 1x 2 3 + 3 = y + 6 ⇔ 3 + 3 = y +6 ( |y|z4+ 2z2 − 4z+ 2 =0 (|y|z4+ 2(z − 1)2 = 0

Второе уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных выражений $|y|z4$ и $2(z− 1)2.$ Эта суммаравна нулю в том и только в том случае, если оба выражения равны нулю. Следовательно, получаем

(|||y|z4 = 0 (||x = 1 |{ |{ |z − 1 = 0 ⇔ |y = 0 ||(3x+ 31x = y2+ 6 ||(z = 1

Таким образом, мы получили, что при $a= − 1$ система действительно имеет единственное решение. Следовательно, ответ

a ∈{− 1}.

Ответ:

$a ∈{− 1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#55008

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

( ) sin -πx-- + -----6a(----) + a2+ 3= 0 1+ x2 2 +tg2 x2−1- x

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что по ОДЗ $x⁄= 0,$ следовательно, уравнение можно привести к виду

( --π--) -----6a----- 2 sin x+ 1x + 2 +tg2(x− 1x) +a + 3 =0

Заметим, что уравнение симметрично относительно замены $x$ на $1. x$ Следовательно, если некоторый $x= x0$ является решением уравнения, то и $1- x = x0$ является решением этого уравнения. Эти решения будут совпадать, если $x = 1. x$ То есть при $x ± 1.$

Следовательно, если уравнение имеет единственное решение, то этим решением должен быть $x= 1$ или $x = −1.$ Найдем те $a,$ при которых среди решений уравнения точно есть $x= 1,$ а затем то же самое сделаем для $x = −1.$

Пусть $x = 1.$ Тогда уравнение примет вид

π 6a sin-2 + 2+-tg20 + a2+ 3= 0 ⇔ a2 +3a+ 4 =0 ⇔ a∈ ∅.

Значит, ни при каких $a$ уравнение не может иметь корень $x= 1.$

Пусть $x = −1.$ Тогда

( ) sin − π + --6a---+ a2+ 3= 0 ⇔ a2+ 3a+ 2= 0 ⇔ a = −2;−1. 2 2+ tg2 0

Теперь нужно проверить, действительно ли при найденных $a$ корень $x = −1$ — единственный.

Проверка $a= −2.$

Если $a = −2,$ то уравнение примет вид

sin -π-1-− -----12(----1)-+ 7= 0 ⇔ x+ x 2+ tg2 x− x sin -π---+7 = -----12(----) по методу оценки ⇔ ◟--x+◝◜1x--◞ 2◟+-tg2◝x◜-−-1x◞ ∈[6;8] ∈(0;6] ( --π-- ||{sinx+ x1+ 7= 6 | 12 ⇔ |( 2+-tg2(x-−-1) = 6 ( π x ||{sinx+--1= −1 ( x ) ⇔ ||(tg x− 1 = 0 ( x ||{ -π-1-= − π-+ 2πn,n ∈ ℤ x+ x 2 ⇔ ||(x − 1 =πk,k ∈ℤ ( x ||{x + 1 = -11---,n ∈ℤ x −2 +2n ⇔ ||(x − 1 =πk,k ∈ℤ ( xπ 1 ||{x = 2k + −1+-4n- | n,k ∈ ℤ |( 1= ---1---− π-n x − 1+ 4n 2

Выразим $x$ из второго уравнения и приравняем его с $x$ из первого уравнения. Получим

( ) πk+ ---1---= -----1---- ⇔ ---1--- 2− 1= (πk)2 . 2 − 1+ 4n −11+4n-− π2n −1+ 4n 2

Данное равенство верно лишь при $k = 0,$ так как правая часть представляет собой рациональное число, умноженное на $π,$ а левая — рациональное число. Следовательно, равенство возможно только тогда, когда в правой части рациональное число, которое умножается на $π,$ равно нулю.

Из равенства $k = 0$ следует $n= 0.$ Таким образом, мы получаем, что решением системы является лишь $x= −1.$ Значит, $a =− 2$ нам подходит.

Проверка $a= −1.$

Если $a = −1,$ то уравнение принимает вид

-π--- -----6------ sin x+ 1x +4 = 2+ tg2(x − 1x) ⇔ ◟--∈◝[◜3;5]--◞ ◟---∈◝(0◜;3]---◞ ( π |{ sinx-+-1= − 1 | ( x) ⇔ x= −1. ( tg x − 1x = 0

Получили ту же систему, что и в первой проверке, следовательно, она решается так же и ее решением также будет единственный корень $x = −1.$ Значит, и $a = −1$ нам подходит.

В итоге, ответ

a∈ {−2;−1}.

Ответ:

$a ∈{− 2;− 1}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#56543

Найдите все значения параметров $a$ и $b$ , при которых система

( ||{arctg-y⋅ xy-− 1 = a x2+ 1 xy +1 ||((y2− 1)2 +b =x

имеет ровно 5 различных решений.

Показать ответ и решение

Заметим, что система симметрична относительно замены $y$ на $− y.$ Действительно, во втором уравнении $2 2 (− y) = y.$ Левая часть первого уравнения при подстановке вместо $y$ выражения $− y$ не меняется:

arctg(−y) x− y − 1 − arctgy 1− xy arctgy xy − 1 -x2-+1--⋅x−-y +-1 =-x2+-1-⋅ 1+-xy = x2-+1-⋅xy +-1.

Таким образом, если система имеет решение $(x;y),$ то она также имеет и решение $(x;−y).$ Эти решения совпадают, если $y = − y,$ то есть при $y = 0.$ Следовательно, все решения, которые могут быть у системы, кроме решения $(x;0),$ разбиваются на пары: $(x;y)$ и $(x;−y).$ Таким образом, у системы может быть нечетное число решений только в том случае, если у нее нечетное число решений вида $(x;0).$ Следовательно, как минимум, система должна иметь решение, где $y =0.$

Найдем те $a$ и $b,$ при которых у системы есть нечетное число решений вида $(x;0).$ Пусть $y = 0 :$

(| (| ||{ 0= a ||{ a= 0 | 1+ b= x ⇔ | x= b+ 1 ||( x> 0 ||( x> 0

Следовательно, данная система будет иметь единственное решение $x> 0,$ если $b+ 1 >0,$ откуда $b> −1.$ Значит, при $a = 0,$ $b> −1$ исходная система имеет нечетное число решений (среди которых ровно одно решение с $y = 0$ ). Отберем такие пары $a$ и $b,$ при которых решений у системы не просто нечетно, а именно пять.

Пусть $a = 0,$ $b> −1.$ Тогда исходная система примет вид

⌊( ⌊ (| ||||{ y = 0 ( | ||{arctgy = 0 || x= b+ 1 ||{ arctgy⋅ xy-− 1 = 0 ||| |x >0 ||||||( x2+ 1 xy +1 ⇔ || ||((y2− 1)2+ b= x ⇔ ||( x> 0 ||((y2− 1)2 +b =x || ( ||||| x= 1 |⌈ {xy = 1 ||{ ((y2− 1)2+ b= x |⌈||| y ∈ ℝ ( (y2 − 1)2 = 1− b

Первая система имеет одно решение $(b+ 1;0).$ Определим, при каких значениях параметров вторая система имеет четыре решения. Значит, она должна иметь четыре решения относительно переменной $y.$ Следовательно, уравнение $(y2− 1)2 = 1− b$ должно иметь четыре решения. Это уравнение в принципе будет иметь решения, если $1− b≥ 0,$ то есть если $b ≤1.$ Тогда уравнение преобразуется в совокупность из двух уравнений

⌊ y2 = 1+ √1−-b ⌈ 2 √---- y = 1− 1− b

Значит, $b$ должно быть таким, чтобы каждое из этих двух уравнений имело два решения, причем решения одного уравнения не совпадают с решениями второго. Значит, нужно:

(| 1+ √1−-b⁄= 1− √1-−-b ||{ √---- | 1+ 1− b> 0 ⇔ 0< b< 1. ||( 1− √1−-b> 0

Таким образом, при $a= 0$ и $b ∈(0;1)$ исходная система имеет 5 решений.

Ответ:

$a ∈{0};b∈ (0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#56548

Найдите все такие пары параметров $(a;b)$ , при каждой из которых уравнение

( ) |x − sin2a|+|x+ cos24a − 2 sina⋅cos44a|= b a+ 3π 2

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Уравнение имеет вид $|x − A |+|x− B|= C$ ( $A = sin2a,$ $B = − cos24a+ 2sin a⋅cos44a$ ). Данное уравнение симметрично относительно замены $x− A$ на $x − B.$ Следовательно, уравнение может иметь единственное решение, если $x− A = x− B,$ то есть при $A = B.$ Значит,

2 2 4 2 4 2 sin a= − cos4a+ 2sina⋅cos 4a ⇔ sin a− 2cos 4a ⋅sina+ cos 4a= 0

Рассмотрим это уравнение как квдаратное относительно $sina.$ Тогда его дискриминант равен $D = 4cos24a(cos64a− 1)≤ 0.$ Следовательно, уравнение имеет решения только в том случае, если $D = 0.$ Тогда

( { 4cos24a(cos64a− 1)= 0 π- ( 4 ⇔ a = 2 + 2πn,n∈ ℤ sina= cos 4a

Проверка.

При $π- a= 2 + 2πn$ имеем

|x − 1|+ |x + 1− 2|=2πb(1+ n) ⇔ |x − 1|= πb(1+ n)

Это уравнение имеет единственное решение, если правая часть его равна нулю, следовательно, при

⌊ ⌊ π- b= 0;n∈ ℤ || a= 2 +2πn,n ∈ℤ;b = 0 ⌈n = −1;;b ∈ℝ ⇒ ⌈ 3π a= −-2 ,;b∈ ℝ

Ответ:

$(a;b) ∈{(π + 2πn;0);(− 3π;t)},n∈ ℤ,t∈ ℝ 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#56940

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

(a− x− sinx)(x− sin(a− x)) = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим левую часть как функцию $f(x).$ Заметим, что

f(a− x)= (a− a+ x− sin(a− x))(a− x − sin(a − a +x))= f(x).

Следовательно, если уравнение имеет решение $x = x0,$ то оно также имеет и решение $x= a− x . 0$ Единственное решение, не имеющее пару, это решение, при котором $x = a− x,$ то есть решение $a x= 2.$ Следовательно, уравнение имеет единственное решение, если этим решением будет $x = a. 2$

Пусть $x = a. 2$ Тогда уравнение примет вид

( a a)(a a) a a 2 − sin 2 2 − sin2 = 0 ⇔ sin 2 − 2 = 0.

Рассмотрим функцию $g(x)= sin x− x.$ Производная этой функции $g′(x) =cosx− 1 ≤0$ при всех $x ∈ ℝ.$ Следовательно, функция убывает. Значит, уравнение $g(x)= 0$ имеет не более одного корня. Подбором находим, что корнем уравнения $sinx− x =0$ является $x= 0.$ Следовательно,

a a a sin 2 − 2 = 0 ⇔ 2 = 0 ⇔ a= 0.

Итак, при $a= 0$ исходное уравнение имеет нечетное число решений, среди которых есть единственное решение $x = a= 0. 2$ Проверим, есть ли у этого уравнения кроме решения $x= 0$ другие решения. Пусть $a = 0.$ Тогда уравнение примет вид

(−x − sinx)(x − sin(− x)) =0 ⇔ sinx+ x = 0.

Аналогично рассмотрим функцию $h(x)= sin x+ x.$ Ее производная $′ h (x) =cosx +1 ≥0.$ Следовательно, функция $h(x)$ возрастает. Следовательно, уравнение $h(x)= 0$ имеет не более одного корня. Подбором находим, что $x = 0$ является решением этого уравнения.

Таким образом, мы показали, что при $a = 0$ у исходного уравнения нет других решений, кроме $x= 0.$ То есть это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, ответ

a∈ {0}.

Ответ:

$a ∈{0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#56941

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( { 2lny =4|x| ( 42 2 22 log2(xy +2a )= log2(1− ax y)+ 1

имеет единственное решение. Найдите это решение.

ФИПИ

Показать ответ и решение

Данная система симметрична относительно замены $x$ на $− x.$ Следовательно, если система имеет решение $x= x0,$ то она также имеет и решение $x = −x0.$ Единственное решение, не имеющее себе пару, это $x= −x ⇔ x= 0.$ Следовательно, если система имеет единственное решение, то этим решением должен быть $x = 0.$

Найдем $a,$ при которых у системы есть решение $x= 0.$ Пусть $x= 0:$

( {2lny = 40 ( 2 ⇔ log2(0+ 2a )= log2(1 − 0)+ 1 ({y = 1 (a = ±1

Таким образом, при $a= ±1$ у системы точно есть решение $(0;1).$ Проверим, есть ли другие решения у системы при найденных значениях параметра $a.$

Проверка $a= −1.$

Если $a = −1,$ то система примет вид

( { 2lny =4|x| ( 42 2 2 ⇔ log2(xy +2)= log2(1+ x y) +log22 ({ ln y = 2|x| ⇔ ( x4y2+ 2= 2+ 2x2y2 ({ ln y = 2|x| ⇔ ( x2y2(x2− 2)= 0 ⌊ ( | {x = 0 || (y = 1 || ({ √ - |⌈ x = ±√-2 (y = e2 2

Видим, что система имеет три решения, следовательно, $a= −1$ нам не подходит.

Проверка $a= 1.$

Если $a = 1,$ то система примет вид

( { 2lny =4|x| ( 42 2 2 ⇔ log2(xy +2)= log2(1− x y) +log22 ({ ln y = 2|x| ⇔ ( x4y2+ 2= 2− 2x2y2 ({ ln y = 2|x| ⇔ ( x2y2(x2+ 2)= 0 ( { x= 0 ( y = 1

Таким образом, при $a= 1$ система действительно имеет единственное решение. И это решение $(0;1).$ Следовательно, ответ

a∈ {1}.

Ответ:

$a ∈{1};(x;y)= (0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#56942

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

4a2x4+ (2a− 8)x2 +a +|a|= 0

имеет ровно три решения на промежутке $(−1;1]$ .

Показать ответ и решение

Уравнение симметрично относительно замены $x$ на $− x.$ Следовательно, если уравнение имеет решение $x= x0,$ то оно также имеет и решение $x = −x0.$ Единственное решение, не имеющее себе пару, это $x= −x ⇔ x= 0.$ Следовательно, уравнение имеет 3 решения на промежутке $(−1;1]$ в одном из двух случаев:

$∙$ $x= 0;x0,− x0$ — решения уравнения, где $x0 ∈ (0;1);$

$∙$ $x= 1;x;− x 0 0$ — решения уравнения, где $x ∈ (0;1). 0$

Пусть $x = 0.$ Тогда уравнение примет вид

a+ |a|= 0 ⇔ a ≤0.

Пусть $x = 1.$ Тогда уравнение примет вид

⌊ 2 | a= 1 4a + 3a+ |a|− 8= 0 ⇔ |⌈ 1+ √33 a= − --4----

Проверка $a= 1.$

Тогда уравнение примет вид

4 2 1-- 4x − 6x +2 = 0 ⇔ x= ±1;± √2.

Следовательно, на промежутке $(−1;1]$ уравнение действительно имеет 3 решения, значит, $a= 1$ нам подходит.

Проверка $1 +√33- a= −---4---.$

Если $√ -- a = − 1-+-33, 4$ то $√-- 4a2 =8 − 2a = 8+ 1+-33. 2$

Тогда уравнение примет вид

(8 − 2a)x4+(2a− 8)x2+ a− a = 0 ⇔ (8− 2a)x2(x2− 1)= 0 ⇔ x= 0;±1.

Следовательно, на промежутке $(− 1;1]$ уравнение имеет 2 решения, значит, это $a$ нам не подходит.

Проверка $a≤ 0.$

Тогда уравнение примет вид

⌊ 24 2 2 2 2 x= 0 4ax + (2a− 8)x+a − a= 0 ⇔ x (2a x +a − 4)= 0 ⇔ ⌈ 2 2 2ax =4 − a

Если $a = 0,$ то уравнение имеет 1 решение, следовательно, $a= 0$ нам не подходит. Пусть $a< 0.$ Тогда уравнение будет иметь 3 решения на проежутке $(−1;1],$ если

x2 = 4−-a ∈(0;1). 2a2

Учитывая, что $a < 0,$ получаем

1+ √33- a < −---4---.

Следовательно, исходное уравнение имеет 3 решения на промежутке $(−1;1],$ если

√-- ( 1+--33) a∈ − ∞;− 4 ∪{1}.

Ответ:

$a ∈(− ∞;− 1+√33) ∪{1} 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#57170

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x4− x2+ |a√x|+ a3− a2 − 2a = 0 3 3

имеет ровно три решения.

Показать ответ и решение

Данное уравнение симметрично относительно замены $x$ на $− x.$ Следовательно, если $x = x0$ — корень этого уравнения, то также $x= −x0$ — корень этого уравнения. Единственный корень, не имеющий себе пару, это $x = −x ⇔ x = 0.$ Следовательно, если среди корней уравнения есть $x= 0,$ то уравнение имеет нечетное число корней, если же среди корней уравнения нет $x= 0,$ то количество корней уравнения четно.

Значит, чтобы у уравнения было 3 решения, необходимо, чтобы $x = 0$ являлся корнем уравнения.

Пусть $x = 0.$ Тогда уравнение примет вид

a3− a2− 2a= 0 ⇔ a= − 1;0;2.

Проверка $a= 0.$

При $a= 0$ уравнение примет вид

x4− x2 = 0 ⇔ x= 0;±1.

Уравнение имеет 3 решения, следовательно, $a = 0$ нам подходит.

Проверка $a= −1.$

При $a= −1$ уравнение примет вид

4 2 -|x|- x − x + 3√3 = 0 (∗)

Если уравнение

x3− x= − -1√-- 3 3

имеет одно решение при $x >0,$ то уравнение $(∗)$ имеет три решения, и тогда $a = −1$ нам подходит. В противном же случае это значение параметра нам не будет подходить. Следовательно, исследуем уравнение

x3− x= − -1√-- ◟=◝◜f(x◞) 3 3

при $x > 0.$ Производная $f′(x) =3x2− 1$ равна нулю при $x = ±√1-. 3$ Следовательно, при $x> √1- 3$ производная положительна, то есть $y = f(x)$ возрастает; при $-1 0 < x< √3$ производная отрицательна, то есть $y = f(x)$ убывает. Так как

f(0)= 0, ( ) f 1√-- = − √2-, 3 3 3

то график функции $y = f(x)$ выглядит следующим образом:

$12 1 xyyy−√ = =33√f−3(x3√)3$

Видим, что график функции $y = f(x)$ имеет с горизонтальной прямой $-1√- y = −3 3$ две точки пересечения при $x >0.$ Следовательно, уравнение $(∗)$ имеет 5 решений. Значит, $a= −1$ нам не подходит.

Проверка $a= 2.$

При $a= 2$ уравнение примет вид

4 2 2√|x|- x − x = − 3 3 (∗∗).

Будем рассуждать аналогично предыдущей проверке. Рассмотрим уравнение

x3− x= − -2√-- 3 3

и посмотрим, сколько корней оно имеет на проемтужке $x> 0.$ Функцию $y = f(x)$ мы уже исследовали, и по рисунку видно, что точек пересечения у графика этой функции с прямой $2 y = −3√3$ на $x > 0$ ровно одна.

$xyyy−√ = =1323√f−3(x3√)23$

Следовательно, уравнение $(∗∗)$ имеет 3 решения, значит, $a= 2$ нам подходит.

Следовательно, ответ

a ∈{0;2}.

Ответ:

$a ∈{0;2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#57171

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( { x2+ y2 = 2 ( |x − a|+ |y − a|= 2|x+ y|

имеет ровно три решения.

Показать ответ и решение

Данная система симметрична относительно перемены местами $x$ и $y.$ Следовательно, если система имеет решение $(x;y),$ то она также имеет и решение $(y;x).$ Единственный вид решения, который не имеет себе пару, это тот, у которого абсцисса и ордината одинаковы: $(x;y)$ при $x = y.$ Следовательно, система будет иметь нечетное число решений, если она имеет нечетное число решений вида $(x;x).$ То есть как минимум одно решение такого вида она точно должна иметь.

Найдем $a,$ при которых у системы есть решение, для которого выполнено $x = y :$

⌊({ ( ( || x= 1 { 2x2 = 2 { x= ±1 ||(( a= −1;3 ( 2|x − a|= 4|x| ⇔ ( |± 1− a|=2 ⇔ ||{ x= −1 ⌈( a= −3;1

Проверка $a= −3.$

При $a= −3$ система примет вид

( { x2+ y2 = 2 ( |x +3|+ |y +3|= 2|x+ y|

Решим эту систему графически. Графиком первого уравнения является окружность с центром в начале координат $(0;0)$ и радиусом $√ - 2.$

Рассмотрим второе уравнение. Нули подмодульных выражений (это $x =− 3,$ $y = −3$ и $x =− y$ ) разбивают плоскость $xOy$ на 7 областей, на каждой из которых каждый модуль раскрывается определенным образом. Будем обозначать каждую область как $∗∗∗,$ где на месте каждой $∗$ стоит знак $+$ или $− ,$ обозначающий знак первого, второго и третьего соответственно подмодульного выражения. То есть за $+++$ мы обозначим область, где $x +3 > 0,$ $y+ 3> 0$ и $x +y > 0.$ Получим:

|------|----------| |+ + + |y = −x+ 6 | |+-−-+-|y-=-− 1x--| |------|-----3----| |+-−-−-|y-=-−3x---| |−-−-−-|y-=-−x+-6-| |−-+-−-|y-=-− 13x--| |− + + |y = −3x | |+-+-−-|y-=-−x−-2-| ------------------|

$xyxxy+++−−−+K−1−111++++−−−+++y33++−−−+−=== 000$

Видим, что графики первого и второго уравнений системы имеют только одну общую точку — это точка $K$ — точка касания прямой $y = − x− 2$ (в области $++ −$ ) с окружностью. Следовательно, система имеет единственное решение при $a = −3.$ Значит, это значение параметра нам не подходит.

Проверка $a= 3.$

При $a= 3$ система примет вид

({ 2 2 x + y = 2 ( |x − 3|+ |y − 3|= 2|x+ y|

Если сделать замену $− x = t,$ $− y = z,$ то мы получим систему

( {t2+ z2 = 2 ( |t+3|+ |z +3|= 2|t+z|

Получили такую же систему, как и в случае проверки $a = −3.$ Следовательно, при $a= 3$ система также имеет единственное решение, значит, $a= 3$ нам тоже не подходит.

Проверка $a= −1.$

При $a= −3$ система примет вид

( { x2+ y2 = 2 ( |x +1|+ |y +1|= 2|x+ y|

Поступим аналогично: решим систему графически.

|------|----------| |+-+-+-|y-=−-x+-2-| |+-−-+-|y-=−-13x---| |+-−-−-|y-=−-3x---| |− − − |y =− x+ 2 | |−-+-−-|y-=−-1x---| |------|-----3----| |−-+-+-|y-=−-3x---| -+-+-−--y-=−-x−-23-|

$xyxxy+++−−−+KAB11 ++++−−−+++y11++−−−+−=== 000$

Видим, что графики первого и второго уравнений системы имеют три общие точки — это точки $A,$ $B$ и $K.$ Следовательно, система имеет 3 решения при $a = −1.$ Значит, это значение параметра нам подходит.

Проверка $a= 1.$

При $a= 1$ система примет вид

({ x2+ y2 = 2 ( |x − 1|+ |y − 1|= 2|x+ y|

Если сделать замену $− x = t,$ $− y = z,$ то мы получим систему

( {t2+ z2 = 2 (|t+1|+ |z +1|= 2|t+z|

Получили такую же систему, как и в случае проверки $a = −1.$ Следовательно, при $a= 1$ система также имеет 3 решения, значит, $a= 1$ нам тоже подходит.

Следовательно, ответ

a∈ {−1;1}.

Ответ:

$a ∈{− 1;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#57176

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( {ax2 +4ax − y +7a +1 = 0 ( 2 ay − x − 2ay +4a − 2 = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Система равносильна

( { a(x + 2)2− y+ 3a+ 1= 0 ( 2 a(y − 1) − x+ 3a− 2= 0

Сделаем замену $x + 2= t,$ $y− 1= z.$ Тогда система примет вид

( { at2− z+ 3a =0 ( az2 − t+ 3a =0

Так как замена линейная, то количество решений исходной системы и полученной системы совпадают.

Полученная система симметрична относительно замены $t$ на $z,$ а $z$ на $t.$ Следовательно, если она имеет решение $(t;z),$ то она также имеет и решение $(z;t).$ Единственный вид решения, не имеющий себе пару, это решение с $t =z.$ Следовательно, если система имеет единственное решение, то этим решением является $(t;t).$

Итак, пусть $t= z.$ Тогда система равносильна одному уравнению:

2 at − t+ 3a= 0.

Это уравнение должно иметь одно решение, и тогда у исходной системы точно среди решений будет ровно одно решение вида $(t;t).$

Если $a = 0,$ то мы получаем линейное уравнение $t= 0,$ имеющее одно решение. Если $a⁄= 0,$ то мы имеем квадратное уравнение, следовательно, оно будет иметь одно решение, если его дискриминант равен нулю:

D = 1− 12a2 = 0 ⇔ a= ± √1-. 2 3

Проверка $a= 0.$

При $a= 0$ система примет вид

( { −z =0 ⇔ (0;0). ( −t= 0

Получили одно решение, следовательно, $a = 0$ нам подходит.

Проверка $1 √3 a= −2√3-= − -6 .$

При $√- a= − 63$ система примет вид

(| √3 2 √3 |{ 6-t + z+ -2-= 0 √3-2 √3 2 √- √- 2 √ -2 || √- √- ⇒ -6-t+t+ -6 z +z+ 3 =0 (∗) ⇔ (t+ 3) +(z+ 3) = 0. ( -3z2+ t+ -3-= 0 6 2

$(∗)$ сложили уравнения системы и получили новое уравнение.

Полученное уравнение имеет одно решение $√ - t= z = − 3.$ А так как это уравнение является следствием системы, то множество решений системы является подмножеством решений полученного уравнения. Видим, что решение $t= z =− √3$ является также и решением системы. Следовательно, при $a = −-1√- 2 3$ система имеет единственное решение, значит, это значение параметра нам подходит.

Проверка $√ - a= -1√--= --3. 2 3 6$

При $a= √3 6$ система примет вид

( √- √- || -3t2− z+ -3-= 0 √ - √- { 6 2 ⇒ --3t2− t+ -3z2− z+ √3 =0 ⇔ (t−√3-)2+ (z−√3-)2 = 0. ||( √3-2 √3- 6 6 6 z − t+ 2 = 0

Полученное уравнение имеет одно решение $- t=z = √3.$ Видим, что решение $t= z =√3-$ является также и решением системы. Следовательно, при $a = √1- 2 3$ система имеет единственное решение, значит, это значение параметра нам подходит.

Таким бразом, нам подходят все найденные значения параметра и ответ

{ } a∈ 0;±-1√-- . 2 3

Ответ:

$a ∈{0;± √1-} 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#57517

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( {y =(a+ 2)x2+ 2ax+ a− 1 ( 2 x = (a +2)y + 2ay+ a− 1

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Данная система симметрична относительно замены $x$ на $y,$ а $y$ на $x.$ Следовательно, если она имеет решение $(x;y),$ то она также имеет и решение $(y;x).$ Решение, не имеющее себе пару, это решение вида $(x;x)$ (то есть решение, у которого $x = y$ ). Следовательно, если система имеет единственное решение, то у этого решения $x = y.$ Найдем $a,$ при которых у системы есть ровно одно решение вида $(x;x):$

( {x = (a +2)x2+ 2ax+ a− 1 2 2 (x = (a +2)x2+ 2ax+ a− 1 ⇔ x =(a+2)x +2ax+a− 1 ⇔ (a+2 )x + (2a−1)x+a− 1= 0.

Полученное уравнение должно иметь одно решение. Заметим, что при $a = −2$ это уравнение является линейным и равносильно $− 5x − 3 = 0,$ и действительно имеет единственное решение. Следовательно, $a= − 2$ нам подходит.

При $a⁄= −2$ это уравнение квадратное, следовательно, оно имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю:

9 D = −8a+ 9= 0 ⇔ a = 8.

Следовательно, нам нужно проверить два найденных значения параметра.

Проверка $a= −2.$

Если $a = −2,$ система принимает вид

( {y =− 4x− 3 (x = −4y− 3

Эта система имеет единственное решение. Следовательно, $a= −2$ — первая часть ответа.

Проверка $a= 9. 8$

Если $9 a = 8,$ система имеет вид

(|| 25 2 9 1 {y = 8 x + 4x+ 8 || 25 2 9 1 (x = 8 y + 4y+ 8

Сложим эти два уравнения. Тогда мы получим уравнение, множество решений которого содержит множество решений данной системы. Полученное уравнение равносильно

2 2 1 (5x+ 1) + (5y +1) = 0 ⇔ x =y = −5.

Заметим, что эта пара чисел также является и решением системы. Следовательно, при $9 a= 8$ система также имете единственное решение.

В итоге ответ

{ } a∈ − 2; 9 . 8

Ответ:

${ } a ∈ −2; 9 8$

Предыдущий раздел

Следующий раздел