Тема 18. Задачи с параметром

18.09 Алгебра. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#126443Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

((−4x+ |x+a |−|6x|− 4)+3)((− 4x+|x+a|− |6x|−4)2+ |a|(− 4x+|x+a |− |6x|− 4)+2 )= 0

имеет 6 различных решений.

Показать ответ и решение

Пусть

y = − 4x+ |x +a|− |6x|− 4.

Тогда уравнение примет вид:

2 (y+ 3)(y + |a|y+ 2)= 0. (∗)

Рассмотрим функцию $y = −4x+ |x + a|− |6x|− 4.$ При раскрытии модулей итоговый коэффициент перед $x$ определяется выражением $− 4x± x∓ 6x$ и будет иметь тот же знак, что слагаемое $∓6x.$ Тогда при $x > 0$ функция $y$ монотонно убывает, а при $x< 0$ — монотонно возрастает. То есть максимальное значение функции $y$ достигается при $x =0$ и равно $y(0) =|a|− 4.$

Изобразим эскиз графика функции $y :$

$xy|0a|− 4$

Таким образом,

если $y < |a|− 4,$ то у уравнения $y = −4x +|x+ a|− |6x|− 4$ ровно два решения;
если $y = |a|− 4,$ то у уравнения $y = −4x+ |x+ a|− |6x|− 4$ ровно одно решение;
если $y > |a|− 4,$ то у уравнения $y =− 4x+ |x +a|− |6x|− 4$ нет решений.

Тогда чтобы исходное уравнение имело шесть различных решений, нужно, чтобы уравнение $(∗)$ имело три различных решения, удовлетворяющих условию $y < |a|− 4.$

Первое решение уравнения $(∗)$ получаем, приравняв множитель $(y +3)$ левой части к нулю — это $y = −3.$ Найдем, когда оно удовлетворяет условию $y < |a|− 4:$

− 3< |a|− 4 |a|> 1

Рассмотрим уравнение, получаемое из второго множителя:

2 y + |a|y+ 2 =0 (∗∗)

Данное квадратное уравнение имеет не более двух решений. Тогда чтобы уравнение $(∗)$ имело три подходящих решения, необходимо, чтобы уравнение $(∗∗)$ имело ровно два решения, удовлетворяющих условию $y < |a|− 4.$

Пусть $f(y)= y2+ |a|y+ 2$ — квадратичная функция с ветвями вверх и вершиной $y0 = − |a|. 2$

$yyy|12a|− 4$

Тогда чтобы уравнение $f(y)= 0$ имело два различных решения, каждое из которых меньше $|a|− 4,$ необходимо выполнение следующих условий:

(| |a| (| 8 |{ y0 = −-2 < |a|− 4 |{ |a|> 3 | f(|a|− 4) >0 ⇔ | (|a|− 4)√2+ |a|(|a|− 4) +2 > 0 |( D = |a|2− 8> 0 |( |a|> 2 2 ( ||{ |a|> 8 |a|⁄= 33 ||( |a|> 2√2

Заметим, что $√ - 8 2 2> 3,$ так как $√- 64 64 ( 8)2 (2 2)2 = 8=-8 > 9-= 3 .$ При этом $2√2-< 2⋅1,5 = 3.$

Получим, что $|a|∈ (2√2;3) ∪(3;+ ∞ ).$ В данном случае условие на первый корень $|a|> 1$ всегда выполняется.

Исключим случаи, когда корень $y = −3$ является корнем уравнения $(∗∗).$ Для этого подставим $y = − 3$ и найдём такие значения $|a|,$ при которых $f(−3)= 0 :$

f (− 3) =9 − 3|a|+2 = 11− 3|a|= 0 ⇔ |a|= 11. 3

Отсюда получаем $( √- ) ( 11-) (11 ) |a|∈ 2 2;3 ∪ 3;3 ∪ 3 ;+ ∞ .$

Тогда исходное уравнение имеет 6 различных решений при

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a∈ −∞; − 11 ∪ − 11;− 3 ∪ − 3;− 2√2 ∪ 2√2; 3 ∪ 3; 11 ∪ 11-;+ ∞ . 3 3 3 3

Ответ:

$( ) ( ) ( ) ( ) a ∈ −∞; − 11 ∪ − 11;−3 ∪ (− 3;− 2√2)∪ (2√2; 3) ∪ 3; 11 ∪ 11;+∞ 3 3 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#126444Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

a((x− 1)2− cos(π(x − 1)))2+ 2((x− 1)2− cos(π (x − 1)))+1 = 0

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Пусть $y = (x− 1)2 − cos(π(x− 1)).$ Тогда уравнение примет вид:

2 ay + 2y+ 1= 0 (∗)

Проведём анализ функции $y =(x − 1)2− cos(π(x− 1)).$

Заметим, что график функции $y$ симметричен относительно прямой $x= 1.$ Действительно:
$y(1 − x0)= (−x0)2− cos(−πx0)= x20− cosπx0 2 y(1 +x0)= x0− cosπx0$
То есть $y(1− x0)= y(1 +x0)$ для любого $x0.$
$x= 1$ — точка глобального минимума функции $y.$ Действительно, слагаемое $(x− 1)2$ принимает своё наименьшее значение при $x = 1.$ В этой же точке слагаемое $− cos(π(x − 1))$ обращается в $− 1,$ то есть в своё наименьшее возможное значение.
Функция $y$ не ограничена сверху, так как первое слагаемое $(x − 1)2$ не ограничено сверху, а второе слагаемое по модулю не превосходит 1.
$y(1)= − 1$ — минимальное значение функции.

Тогда получим, что:

если $y < −1,$ то у уравнения $y = (x− 1)2− cos(π(x − 1))$ решений нет;
если $y = −1,$ то у уравнения $y = (x− 1)2− cos(π(x − 1))$ единственное решение $x= 1$ ;
если $y > − 1,$ то у уравнения $2 y =(x − 1) − cos(π(x− 1))$ по крайней мере два решения.

Если $y = −1,$ то получаем:

2 a⋅(−1) + 2⋅(− 1)+1 = 0

Отсюда $a= 1$ — это значение параметра нам подходит.

Рассмотрим случаи, когда уравнение $(∗)$ будет иметь хотя бы один корень $y > −1.$

Случай 1. $a= 0.$ В этом случае уравнение $(∗)$ линейное и будет иметь единственный корень $1 y =− 2 > − 1.$ То есть этот случай нам подходит.

Случай 2. $a⁄= 0.$ В этом случае уравнение $(∗)$ квадратное:

ay2+ 2y+ 1= 0 |:a ⁄= 0

y2+ 2y+ 1 = 0 a a

Пусть $f(y)= y2+ 2y + 1. a a$ Тогда уравнение $f(y)= 0$ будет иметь хотя бы один корень $y > −1$ в двух случаях:

$f(y)= 0$ имеет единственный корень $y0 > −1.$
$f(y)= 0$ имеет два различных корня, из которых хотя бы один больше $− 1.$

1.

Рассмотрим первый случай. Он достигается при выполнении следующих условий:

{ ( 1 y0 > −1 |{ −a > −1 D =0 ⇔ |( 4-− 4 = 0 ⇔ a2 a ({ 1 −a > −1 ⇔ a ∈∅ ( a= 1

То есть данный случай невозможен.

2.

Рассмотрим второй случай. Чтобы найти значения параметра, при которых он достигается, поступим следующим образом. Найдём сначала значения параметра $a,$ при которых будет два различных решения относительно $y,$ и из них исключим такие значения $a,$ при которых оба корня окажутся не более $− 1.$

Два различных решения будет при

D = 4−24a> 0 ⇒ 4 − 4a >0 ⇔ a< 1 a

$yyy−121$

Оба корня будут не более $− 1$ при выполнении следующих условий:

( ( {f(−1)≥ 0 |{1 − 1≥ 0 ( 1 ⇔ | a1 ⇔ a ∈∅ y0 = − a < − 1 (1 − a < 0

Таким образом, хотя бы одно решение $y > − 1$ получается, если $a < 1.$

Тогда исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при

a ∈(−∞; 1].

Ответ:

$a ∈(−∞; 1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#126445Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(∘ ----2 )2 (∘ ----2 ) a 1 − x + 1 + 5 1− x + 1 − 9a+ 15= 0

имеет ровно два различных решения на отрезке $[0;1].$

Показать ответ и решение

Пусть $√----- y = 1 − x2 +1.$ Тогда уравнение примет вид:

2 ay + 5y− 9a+ 15= 0(∗)

Проанализируем замену:

∘ ----2 y = 1− x + 1 (y − 1)2 = −x2 +1, y ≥ 1 x2 +(y− 1)2 = 1, y ≥ 1

Полученное уравнение задает полуокружность с центром $(0;1)$ и радиусом $R = 1:$

$PIC$

Обратим внимание, что на промежутке $[0;1]$ функция $y$ монотонно зависит от $x$ и принимает значения от $y(1)= 1$ до $y(0) = 2.$

Значит, одному решению $y$ уравнения $ay2+5y − 9a +15 =0$ будет соответствовать одно решение $x$ исходного уравнения.

Отсюда от уравнения $ay2+ 5y− 9a+ 15= 0$ мы требуем ровно два корня, лежащих на отрезке $[1;2].$

Следовательно, значение $a= 0$ нам не подходит, так как при таком значении параметра мы получим линейное уравнение, которое будет иметь одно решение.

Пусть $2 f(y)= ay + 5y− 9a+ 15.$

Тогда при $a> 0$ необходимо выполнение следующих требований:

(|| D > 0 |{ 1< yв < 2 || f(1)≥ 0 |( f(2)≥ 0

$PIC$

$f(1)≥ 0,$ тогда получаем следующее неравенство:
$a+ 5− 9a+ 15≥ 0 5 8a≤ 20 ⇒ a≤ 2$
$f(2)≥ 0,$ тогда получаем следующее неравенство:
$4a+ 10− 9a+ 15 ≥ 0 5a≤ 25 ⇒ a ≤5$
$1< yв < 2,$ тогда получаем следующее двойное неравенство:
$1< −5-< 2 2a − 4 < 1 < − 2 ⇒ − 5 < a< − 5 5 a 5 2 4$
$D > 0,$ тогда получаем следующее неравенство:
$D =25 − 4a(−9a+ 15)> 0 2 25 +36a − 60a> 0 (6a)2− 2⋅5⋅6a+ 52 > 0 2 5 (6a− 5) > 0 ⇒ a ⁄= 6$

При $a> 0$ условие на положение вершины не выполняется. Значит, в этом случае подходящих значений параметра нет.

При $a< 0$ необходимо выполнение следующих требований:

( (|D > 0 |||25− 4a(−9a+ 15)> 0 ||{1 < yв < 2 ||{1 < −5-<2 |f(1)≤ 0 ⇒ | 25a ||( ||||a ≥ 2 f(2)≤ 0 (a ≥5

$PIC$

При $a< 0$ условия на значения функции в точках 1 и 2 не выполняются. Значит, этот случай также невозможен.

Ответ:

$a ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#126446Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 √ - 2a (sinx+ cosx)− 2 2(sinx+ cosx)− a+ 2= 0

имеет ровно два различных решения на отрезке $[ ] − π-; π-. 4 4$

Показать ответ и решение

Пусть $y = sinx + cosx.$ Тогда уравнение примет вид:

2 √- 2ay − 2 2y− a +2 = 0(∗)

Проанализируем замену:

y = sin x+ cosx √ -( ) y = 2 1√-sinx+ √1-cosx 2 2 y =√2 ⋅sin( π+ x) 4

Полученное уравнение задает синусоиду:

$PIC$

Обратим внимание, что на промежутке $[ ] − π-; π 4 4$ функция $y$ монотонно зависит от $x$ и принимает значения от $( π) y − 4 = 0$ до $(π-) √- y 4 = 2.$

Значит, одному решению $y$ уравнения $√ - 2ay2 − 2 2y − a+ 2= 0$ будет соответствовать одно решение $x$ исходного уравнения.

Отсюда от уравнения $2 √- 2ay − 2 2y− a+ 2= 0$ мы требуем ровно два корня, лежащих на отрезке $[ √ ] 0; 2.$

Это уравнение либо квадратное, если $a⁄= 0,$ либо линейное, если $a =0.$

Далее будем работать при $a⁄= 0.$

Пусть $f(y)= 2ay2− 2√2y− a+ 2.$ При $a >0$ необходимо выполнение следующих требований:

(||D > 0 |{0 <yв <√2 ||f(0)≥ 0 |(f(√2)≥ 0

$PIC$

$D > 0,$ тогда получаем следующее неравенство:
$8− 8a(− a+ 2)> 0 8a2− 16a+ 8> 0 2 2(4a2− 8a+ 4)> 0 2(2a− 2) > 0 ⇒ a⁄= 1$
$0< yв < √2,$ тогда получаем следующее неравенство:
$√- 0 < 2-2-< √2 4a 0 < 1-< 1 ⇒ a > 1 2a 2$
$f(0)≥ 0,$ тогда получаем следующее неравенство:
$−a+ 2 ≥0 ⇒ a≤ 2$
$f(√2-)≥ 0,$ тогда получаем следующее неравенство:
$4a− 4− a+ 2 ≥0 2 3a− 2≥ 0 ⇒ a≥ 3$

При $a< 0$ получаем то же условие на вершину $√ - 0< yв < 2,$ из которого следует $a> 12 .$ Значит, этот случай невозможен.

Пересекая все найденные промежутки, получаем, что исходное уравнение имеет ровно два различных решения на указанном отрезке при

[ ) a ∈ 2 ;1 ∪(1;2] 3

Ответ:

$[ ) a ∈ 2 ;1 ∪ (1;2] 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#18383Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

sinx sinx 2 4 +a ⋅2 + a − 1= 0

не имеет решений.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $sinx t= 2 .$ Тогда получаем

2 2 t +at+ a − 1= 0 (∗)

Так как $− 1 ≤sinx≤ 1,$ а $α y = 2$ — возрастающая функция, то имеем:

−1 sinx 1 2 ≤ 2 ≤ 2

Следовательно, $t∈ [0,5;2].$ Значит, если уравнение $(∗)$ относительно $t$ имеет решения и они не принадлежат отрезку $[0,5;2],$ то для таких $t$ мы не получим значений для $x.$ Таким образом, полученное после замены квадратное при всех а уравнение либо должно не иметь решений, либо может иметь решения из промежутка

(− ∞;0,5)∪(2;+∞ )

Рассмотрим дискриминант уравнения

( ) D = a2− 4 a2 − 1 =4 − 3a2

Следовательно, значения параметра $|a|> √23,$ соответствующие отрицательному дискриминанту, нам подходят.

Если $2- |a|= √3,$ то имеется единственный корень

a 1 t0 = −2 = ∓√3

Подходит только отрицательный корень, получаемый при $a= √23.$

Если $|a|< 2√-, 3$ то имеются два различных корня $t1$ и $t2.$ Заметим, что абсцисса $tв$ вершины параболы $2 2 y = t+ at+ a − 1$ такая:

a ( 1---1-) tB = − 2 ∈ − √3;√3

Следовательно, оба корня не могут быть больше 2, поскольку они лежат по разные стороны от $tв .$ Тогда нас удовлетворит любой из двух вариантов:

оба корня меньше 0,5, то есть значение функции в точке 0,5 положительно и абсцисса вершины левее 0,5;
один корень меньше 0,5, другой корень больше 2, то есть числа 0,5 и 2 лежат между корнями, то есть значение функции в этих точках отрицательно.

Описанные выше случаи составляют следующую совокупность:

⌊ | |a|> √23 || a= √2 || ( 3 2 ||| |||||⌊a(|< √3 || ||||| { y(0,5)> 0 || {||( || ||||||( tв < 0,5 || |||||⌈{ y(0,5)< 0 ⌈ ||( ( y(2) <0 ⌊ √2 || |a|> 3 || a= √23 || (|||a|< 2√- || ||||⌊( 3 √-- √-- ||| |||{|{ a∈ (−∞; − 14 − 413)∪ (− 14 + 413;+∞ ) || ||( a> − 1 || ||||||({ 1 √13- 1 √13 |⌈ ||||||⌈ a∈ (−4 − 4 ;− 4 + 4 ) ( ( a∈ ∅

Тогда исходное уравнение не имеет решений при

( ) (√ -- ) a∈ − ∞;− √2- ∪ --13−-1;+∞ 3 4

Ответ:

$( -2-) ( √13−-1- ) a ∈ −∞; −√3 ∪ 4 ;+∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Случай $D = 0$ рассмотрен неверно, из-за чего в ответ включены лишние значения $a$	3
ИЛИ
Необоснованы переходы по ходу исследования

Верно рассмотрены случаи $D <0,$ $D = 0,$ при $D > 0$ наложено условие непринадлежности корней допустимым значениям $t,$ но либо есть ошибка, либо решение не завершено	2

Верно введена и исследована замена, при этом может быть рассмотрен случай $D < 0$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#23604Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

3√----- 6√----- 2x +1 − 2(a+ 3) 2x+ 1 +3a+ 7 =0

имеет ровно один положительный корень.

Показать ответ и решение

Сделаем замену переменной $6√----- t= 2x +1$ . В условии нас просят найти такие значения параметра $a$ , при которых исходное уравнение имеет ровно один положительный корень. Заметим, что

√ ----- x >0 ⇔ 2x + 1> 1 ⇔ 62x+ 1> 1 ⇔ t> 1

Решим замену (то есть выразим из нее $x$ через $t$ ), чтобы понять, сколько и каких решений исходного уравнения соответствует каждому решению уравнения, полученного после замены. Заметим, что при $t>1$ и $x> 0$

√ ----- 6 t= 6 2x+ 1 ⇔ t6 = 2x + 1 ⇔ x= t-−-1 2

Значит, каждому значению $t> 1$ соответствует ровно один $x$ . Таким образом, достаточно найти все значения параметра $a$ , при которых уравнение $t2− 2(a +3)t+ 3a+ 7= 0$ имеет ровно один корень на луче $(1;+∞ )$ . Это возможно в двух случаях:

1. Если уравнение имеет единственный корень, и он больше 1.

2. Если уравнение имеет два корня, и ровно один из них больше 1.

Рассмотрим оба этих случая:

1. Если уравнение имеет единственный корень, то

⌊ a= − 1 D = 0 ⇔ 4(a+ 3)2− 4(3a+ 7)= 0 ⇔ a2+ 3a+ 2= 0 ⇔ (a+ 1)(a+ 2)= 0 ⇔ ⌈ a= − 2

При $a= −1$ получаем уравнение

t2 − 4t+ 4= 0 ⇔ (t− 2)2 = 0 ⇔ t= 2,

то есть его единственное решение $t= 2$ удовлетворяет условию задачи.

При $a= −2$ получаем уравнение

t2 − 2t+ 1= 0 ⇔ (t− 1)2 = 0 ⇔ t= 1,

то есть его единственное решение $t= 1$ не удовлетворяет условию задачи.

2. Уравнение имеет два корня, ровно один из которых больше 1, если его корни лежат по разные стороны от 1 или если меньший из корней равен 1.

Корни квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом находятся по разные стороны от 1 тогда и только тогда, когда значение функции в точке $t= 1$ отрицательно. Тогда имеем:
$1− 2(a+ 3)+ 3a + 7< 0 ⇔ a+ 2< 0 ⇔ a < −2$
Если $t= 1$ — корень, то
$1− 2(a+ 3)+ 3a + 7= 0 ⇔ a+ 2= 0 ⇔ a = −2$
Но при $a = −2$ дискриминант уравнения равен 0, значит, при таком значении параметра $a$ корень $t= 1$ — единственный, при этом он не удовлетворяет условию задачи.

Значит, исходное уравнение имеет ровно один положительный корень при $a∈ (−∞; −2)∪ {− 1}$ .

Ответ:

$a ∈(−∞; −2)∪ {−1}$

Критерии оценки

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#37056Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых существует единственное решение уравнения

(∘ -2-------- ∘-2-------)x x − 3ax+ 8− x − 3ax+ 6 + (∘-2-------- ∘ -2-------)x √ -x + x − 3ax+ 8+ x − 3ax +6 = 2( 2)

Показать ответ и решение

Посмотрим, как связаны между собой выражения в скобках. При умножении их друг на друга мы сможем воспользоваться формулой разности квадратов, поэтому это и попробуем:

(∘ 2--------- ∘-2-------) (∘ -2-------- ∘ 2--------) x − 3ax+ 8− x − 3ax+6 ⋅ x − 3ax +8+ x − 3ax+ 6 = 2 2 = x − 3ax+ 8− (x − 3ax+ 6)=2

Естественно, это выполняется при условии $x2− 3ax +6 ≥0$ .
Это ограничение на $x$ мы позже учтем. И стоит заметить, что о неотрицательности другого подкоренного выражения говорить не нужно, так как оно на $2$ единицы больше этого, значит, из неотрицательности $x2− 3ax+6$ будет следовать неотрицательность $2 x − 3ax+8$ .

Таким образом, будет удобна следующая замена (как раз потому что их произведение не зависит от $x$ ):

$√ ---------- √---------- t= x2− 3ax+ 8+ x2− 3ax +6$ .

Тогда $√x2-−-3ax+-8− √x2−-3ax+6-= 2 t$ .

Запишем, как теперь выглядит уравнение:

( )x (√-) (√ ) tx + 2 = 2 2 x |÷ 2x ⁄=0 (so there is no problema) ⇔ t ( t )x (√2-)x ( t)x √2- + -t- = 2 ⇔ √2- = 1

Стоит объясниться? Итак, во втором равенстве в левой части мы получили сумму взаимно обратных чисел. Ее абсолютное значение при любых значениях этих чисел не меньше $2$ и равно $2$ , если эти числа одинаковые и равны $1$ .

Заметим, что уравнение $(f(x))g(x) = 1$ на своей области определения равносильно

( ||| f(x)> 0 { ⌊g(x)= 0 |||( ⌈ f(x)= 1

В нашем случае $t≥ √2> 0$ (один корень $≥ 0$ , а второй $≥ √2$ , а $t$ является их суммой), поэтому получаем

⌊x= 0 ⌈∘ ---------- ∘---------- √- x2− 3ax+ 8+ x2− 3ax+ 6= 2

Заметим, что $x= 0$ при любом значении параметра $a$ является решением исходного уравнения (Единственное, с чем могла бы быть проблема – это с тем, что при нем какое-то подкоренное выражение было бы отрицательным. Но не в этот раз). Поэтому второе равенство полученной совокупности не должно иметь решений, либо должно иметь одно решение $x= 0$ . Но коль $x =0$ ему не удовлетворяет, будем требовать от второго равенства отсутствия решений. Выше было сказано, что $t$ , то есть сумма корней, $√- ≥ 2$ , причем равенство достигается, когда $x2− 3ax+ 6= 0$ . Значит, если $x2− 3ax+ 6⁄= 0$ , то есть $x2− 3ax+ 6> 0$ (раз оно под корнем), то $x2− 3ax+ 8> 2$ , следовательно, $√-- √-- √ - t= ...+ ...> 2$ . Это как раз таки и дает нам то, что только $x= 0$ и будет решением исходного уравнения.

Поэтому быть дискриминанту трехчлена $x2− 3ax+ 6$ отрицательным:

∘-- D= 9a2− 24 <0 ⇔ |a|< 2 2 3

Если вы не заметили этой оценки снизу для суммы корней, то нам бы помогло следующее. Раз сумма двух взаимно обратных чисел равна $2$ тогда и только тогда, когда они одинаковые и равны по $1$ , получается вот так:

√ α+ ∘β =√ α− ∘β = √2

где $α = x2− 3ax+ 8$ , $β = x2− 3ax+ 6$ . Ну и из того, что сумма и разность двух корней совпадают, мы бы и получили, что второй корень $√x2−-3ax+6-=0$ .

Ответ:

$a ∈(−2∘ 2;2∘ 2) 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#37057Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых выражение $A$ больше выражения $B$ при всех допустимых $x$ , где

2 log(1−x2)−a4 1−|a|−log √1−x2 A = (1 − x ) 4 , B =0,25 2

при всех допустимых $x$ .

Показать ответ и решение

Требуется, чтобы неравенство

2 log(1−x2)−a4 1− |a|−log √1−x2 (1− x ) 4 > 0,25 2

было выполнено для всех $x∈ (−1;1)$ . Тогда $0< 1− x2 ≤1$ , поэтому $y = log √1−-x2 = log (1− x2)∈(−∞; 0] 2 4$ . Следовательно, для множества $U(y)$ решений неравенства

y y− a4 |a|+y−1 2 4 (4 ) >4 ⇔ y − (a +1)y+(1− |a|)>0

должно быть выполнено $(−∞; 0]⊆ U(y)$ .

Графиком $f(y)= y2− (a4+ 1)y +(1− |a|)$ является парабола с ветвями вверх. Решением неравенства будут те $y$ , которым соответствуют точки параболы из верхней полуплоскости. Следовательно, нам подходят следующие случаи:

$D < 0$ , тогда график целиком выше оси абсцисс;
$D = 0$ при условии, что абсцисса вершины парабола находится строго правее $0$ ;
$D > 0$ при условии, что обе точки пересечения с осью абсцисс находятся строго правее $0$ .

Заметим, что абсцисса вершины $a4+1 y0 =-2--> 0$ , поэтому число $0$ не может оказаться правее $y0$ . Подходящие нам значения параметра находим из:

⌊D ≤0 ||( |⌈{ D >0 ⇔ f(0)> 0 ⇔ |a|< 1 ( f(0)> 0

Ответ:

$a ∈(−1;1)$