.21 Центр масс

1. Введем координатную ось так, как показано на рисунке:

Воспользуемся формулой для координаты центра масс системы:

Перепишем в виде ряда:

Воспользуемся свойством и получим (для компактности записи не будем писать индексы суммирования):

2. Посчитать слагаемые и не составляет труда. В первом случае это сумма арифметической прогрессии, во втором — просто единица взятая раз. А как быть с суммированием квадратов?

Заметим следующее: при суммировании ых степеней мы получаем в итоге многочлен ой степени относительно — это не сложно проверить как-минимум для -ых и -ых степеней.

Вот к примеру воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии и просуммируем 1-ые степени от до :

Действительно получили многочлен 2-ой степени по .

3. Тогда для ожидается многочлен 3-ей степени по :

Чтобы найти коэффициенты, посчитаем руками сумму для , получим систему уравнений относительно и решим её:

Из каждого уравнения вычтем первое уравнение системы и сведем ее к системе из трех уравнений (избавимся от ):

Подставляем полученные коэффициенты в первое уравнение предыдущей системы и получим .

Получили формулу:

4. Вычислим все суммы в нашей формуле для координаты центра масс:

Тогда